Determine, se existir, o centro e o raio da circunferência, em cada caso:?

Question

c) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 24 = 0         d) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 12𝑥 − 12𝑦 + 68 = 0 

Answer 1

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C)  𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 − 8𝑦 + 24 = 0 

Vamos colocar a equação genérica da circunferência para comparar:

x² + y² −  8x   −  8y  +        24       = 0 

x² + y² − 2ax  − 2by + a² + b² − r² = 0

−2a = − 8

2a = 8

a = 4

−2b = 8

2b = 8

b = 4

Centro = {4, 4}

Para o raio temos: a² + b² − r² = 24

4² + 4² − r² = 24

16 + 16 − r² = 24

32 − r² = 24

− r² = 24 − 32

r² = 8

r = raíz quadrada de 8

d) x² + y² + 12x − 12y +        68       = 0

    x² + y² − 2ax − 2by + a² + b² − r² = 0

−2a = 12

2a = −12

a = −6

−2b = -12

2b = 12

b = 6

Centro = {−6, 6}

Para o raio temos: a² + b² − r² = 68

(−6)² + 6² − r² = 68

36 + 36 − r² = 68

64 − r² = 68

r² = 68 − 64

r² = 4

r = raíz de 4

r = 2

Answer 2

c) x² + y² − 8x − 8y + 24 = 0 

x² + y² − 8x − 8y = −24 

x² − 8x + y² − 8y = −24  

Completando os quadrados de x e y:

x² − 8x + ((−8)/2)² + y² − 8y + ((−8)/2)² = −24 + ((−8)/2)²  + ((−8)/2)²

x² − 8x + (−4)² + y² − 8y + (−4)² = 8

Fatorando os trinômios quadrados perfeitos do lado esquerdo:

(x − 4)² + (y − 4)² = 8

Comparando com a equação genérica da circunferência (x − a)² + (y − b)² = r² :

a = 4

b = 4

Centro: C(4, 4)

r² = 8

r = √8

Raio: r = √8 unidades

d) x² + y² + 12x − 12y + 68 = 0

x² + y² + 12x − 12y = −68

x² + 12x + y² − 12y = −68

Completando os quadrados de x e y:

x² + 12x + (12/2)² + y² − 12y + ((−12)/2)² = −68 + (12/2)² + ((−12)/2)²

x² + 12x + 6² + y² − 12y + (−6)² = 4

Fatorandos os trinômios quadrados perfeitos do lado esquerdo:

(x + 6)² + (y − 6)² = 8

Comparando com a equação genérica da circunferência (x − a)² + (y − b)² = r² :

a = −6

b = 6

Centro: C(−6, 6)

r² = 4

r = √4

r = 2

Raio: r = 2 unidades