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Esercizio algebra sulle strutture algebriche, elementi neutri e invertibili?

Salve ragazzi, il problema che mi assilla è il seguente:

Si consideri la seguente operazione definita in P(N):

X • Y = (X U Y) intersecato A , con A sottoinsieme fissato di N (per ogni X,Y appartenenti P(N)).

Considerata la relativa struttura algebrica, si dica se è associativa, commutativa, se

esistono elementi neutri a destra, a sinistra, elementi neutri; se la strutture è dotata di

elemento neutro, si determinino gli elementi invertibili.

Ho verificato che effettivamente la struttura è associativa e commutativa, ma non riesco a proseguire calcolando elementi neutri e eventuali elementi invertibili.

Grazie per eventuali delucidazioni.

2 Answers

Relevance
  • Dani
    Lv 7
    6 years ago
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    Qui un altro candidato “naturale” a elemento neutro sarebbe A.

    A•X = X . . . per ogni X <==>

    (AUX)∩A = X . . . per ogni X <==>

    (A∩A)U(X∩A) = X . . . per ogni X <==>

    AU(X∩A) = X . . . per ogni X

    falso, p.es. quando X = Ā

    Quindi A non è elemento neutro.

    Più o meno allo stesso modo si dimostra che nessun elemento di P(N) è neutro: per ogni B in P(N)

    B•X = X . . . per ogni X <==>

    (BUX)∩A = X . . . per ogni X <==>

    (B∩A)U(X∩A) = X . . . per ogni X

    falso, p.es. quando X = Ā (perché (B∩A)U(Ā∩A) = B∩A è sottoinsieme di A, certamente diverso da Ā.)

    Quindi B non è elemento neutro.

    ciao

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  • 6 years ago

    proprietà associativa

    (X • Y) • Z = X • (Y • Z)

    X • Y = (XUY)∩A = (X∩A)U(Y∩A)

    (X • Y) • Z = ((X∩A)U(Y∩A)UZ)∩A =

    = (X∩A∩A)U(Y∩A∩A)U(Z∩A) =

    = (X∩A)U(Y∩A)U(Z∩A) =

    = (X∩A)U((YUZ)∩A) =

    = (XU(YUZ))∩A = X • (Y • Z)

    proprietà commutativa

    X • Y = (X U Y) ∩ A = (Y U X) ∩ A = Y • X

    Elemento neutro

    candidati ∅ e N

    X • ∅ = ∅ • X = X è falso, infatti

    (X U ∅) ∩ A = X ∩ A ≠ X

    X • N = N • X = X è anch'esso falso

    (X U N) ∩ A = N ∩ A = A ≠ X

    non vi sono elementi neutri quindi nemmeno elementi invertibili

    La struttura così definita è un semigruppo commutativo

    http://it.wikipedia.org/wiki/Semigruppo

    spero che ti sia utile

    • Michele6 years agoReport

      Avrei una domanda:
      Per trovare l'elemento neutro in qualunque struttura di questo genere i candidati sono ∅ e N?

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