關於均勻連續性(uniform continous)的疑惑

延續此題http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qi...

Forany e>0, there exists a d>0 such that

whenever |x-y|<d, x,y in [a,b], then |f(x)-f(y)|<e. 狂風所提反證法,事實上引發了我對uniform continous此概念的疑惑。我是外行人,就用淺白的話來描述我的理解:uniform continous的定義似乎是:若要說某個函數是uniform continous,需要證明,不管兩個函數值的差異有多小(註:any e),我總是可以在定義域內找得到兩個值x、y(|x-y|<d)差異值夠小,帶入函數後,可以符合| f(x)-f(y)| <e。這就是uniform continous。這個概念我可以理解,但覺得抽象,難以操作。它似乎是在暗示一種「可以無限切割」的觀念。它似乎是說,如果函數值可以無限切割,那麼就意味著它是均勻連續的。 用這樣的理解來看狂風的反證,我就看不懂了。<狂風的論證>let e=1, for any d<1 we could choosex=1/d and y=1/(d+2) such that f(y)-f(x)>e.

Hence, the appropriate d for this e does not exist.

However, uniformly continuous requiers "for all e, appropriate dexists", hence it is not uniformly continuous.<我不解之處>:設定e=1之後,我們應該是要在定義域內找得到兩個值x、y(|x-y|<d),其差異值夠小,使得| f(x)-f(y)|<e。這是證明均勻連續的方式(當然,如果證明了,只是證明e=1時均勻連續)。我的邏輯是,如果我設定了x跟y的值,而無法符合| f(x)-f(y)| <e。我會認為:「我設定的x.y值差異不夠小,所以無法成立| f(x)-f(y)| <e」,因此,我應該要找更小的差異值,讓| f(x)-f(y)|<e可以成立。如果找更小的差異值就可以使得| f(x)-f(y)| <e可以成立,那就還是符合均勻連續的。換言之,我並不會因為設定了某個x.y值使得| f(x)-f(y)| <e無法成立,我就說這個函數並不是均勻連續的。所以當狂風choose x=1/d and y=1/(d+2) such thatf(y)-f(x)>e,以此來否證連續性時,我不太理解,為什麼這可以否證均勻連續性?我們不是應該更加縮小x.y的差距,讓| f(x)-f(y)| <e可以成立嗎? 這一點我真的不懂!請指教了。

Update:

(1)

真抱歉,我還是有所疑惑。

我用自己的語言來擴展”狂風”的論證方式,請指教

Uniform continuous的充要條件:

For any e>0, there exists a d>0 such that

whenever |x-y|

Update 2:

(2)

沿用狂風的論證方式:我先假設f(x)是均勻連續的,然後進行反證。

反證1:

取e=1,取x=2d/6,y=d/6(0<1)

則|f(x)-f(y)|=(d/6)/(d^2/18)=3/d(>1=e)(註:因為0<1,故3/d>1)

故|f(x)-f(y)|>e,因此反證了原先的假設

Update 3:

(3)

反證2:(我讓x、y差距更縮小一點)

取e=1,取x=d/18,y=2d/18(0<1)

則|f(x)-f(y)|=(d/18)/(2d^2/18^2)=9/d(>1=e) (註:因為0<1,故9/d>1)

故|f(x)-f(y)|>e,因此反證了原先的假設

Update 4:

(4)

反證3:(我讓x、y差距放大許多)

取e=1,取x=d/100,y=99d/100(0<1)

則|f(x)-f(y)|=98.9898/d(>1=e) (註:因為0<1,故98.9898/d>1)

故|f(x)-f(y)|>e,因此反證了原先的假設

Update 5:

(5)

我的疑惑是,充要條件中講的是「there exists」,因此,雖然當我在上述三個例子中,選擇了3對x、y的數值,可以否證原先uniform continous的假設,但這並不代表著,「there exists」已經被否決掉了。畢竟我才找了3對數值,我應該找了無限多對數值(當然,這是不可能的)之後,才能有信心的講「there don’t exists」。

Update 6:

(6)

我用個簡單的例子來說明我的疑惑:

例如:有人說,請證明「小於100的自然數當中,沒有可以被7整除的數」(當然,這個命題是錯的)

但如果我採用類似上述的的否證模式,竟然可以證明這個命題是對的:

1.我先假設,「小於100的自然數中,有可以被7整除的數」

2.然後,我找到了三個反例:「12」、「24」、「36」後,發現這些數都不能被7整除。

3.然後,我就否證了「小於100的自然數當中,有可以被7整除的數」這個原先的假設。得到結論:「小於100的自然數當中,並沒有可以被7整除的數」這個荒謬的命題。

這就是我不懂的地方。請多多指教了!

Update 7:

更正:系統亂掉了

(註:因為0<1,故3/d>1) 錯了

(註:因為0<1,故3/d>1)才對

在下方的論證中

(註:因為0<1,故9/d>1)

(註:因為0<1,故98.9898/d>1)

上述兩行也有相同的錯誤~「因為0<1」均應更正為「因為0<1」

Update 8:

奇怪!應該是(註:因為d小於1,故......)。

d好像都會被改掉。

Update 9:

(7)*********************************************

後來我找到,若設定e=1時,只要設定x=d、y=1.1d,就可以符合|x-y| 0)使得|f(x)-f(y)|

Update 10:

(7)後來我找到,若設定e=1時,只要設定x=d、y=1.1d,就可以符合|x-y| 0)使得|f(x)-f(y)|

Update 11:

(7)

後來我找到,若設定e=1時,只要設定x=d、y=1.1d,就可以符合|x-y| 0)使得|f(x)-f(y)|

Update 12:

我在心裡設想d=0.9,用這個值去驗證,發現是可以符合的

若d=0.9,則x=0.9、y=0.99,|x-y|=0.09<0.9

Update 13:

而將x、y代入函數後|f(x)-f(y)|=10/99<1

**請各位高手指教了!**

Update 14:

(續補充意見)

如果假設e=1,我猜是可以找得出來的一組x.y,其差異值

0,而不是for all d。這就是我疑惑的地方了,請指教。

4 Answers

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  • 7 years ago
    Favorite Answer

    "若要說某個函數是uniform continous,需要證明,不管兩個函數值的差異有多小(註:any e),我總是可以在定義域內找得到兩個值x、y"

    以上理解不對.

    Uniform continuous 是說:

    給定任意 e > 0, 只要 x, y 差距足夠小 (存在 d > 0, 當 |x-y| < d),

    就保證 |f(x)-f(y)| < e.

    不是 "可以找到 x, y ...", 而是 "無論 x, y 在範圍中的哪裡, 只要它們夠靠近".

    2014-02-17 10:03:02 補充:

    與一般 "continuous" 比較.

    "f(x) 在 D 中連續" 是說: (為了與均勻連續比較, 符號特取一致.)

    對於任意 x 在 D 中, 對於任意 e > 0, 只要 y 與 x 夠靠近 (存在 d > 0,

    當 |x-y| < d), 就保證 |f(x)-f(y)| < e.

    與均勻連續的差異在於先決定了參考點 x 再決定 d, 因此 d 可以隨 x 而

    變.

    2014-02-17 10:05:41 補充:

    以 f(x) = 1/x, 0 < x < 1 這例子來說, x 靠近 0 時, y 與 x 就要更靠近,

    才能保證 f(y) 與 f(x) 的差距在設定範圍 (e) 之內. 也就是說, 並非 y 與

    x 相差在某個 d 之內就能保證 |f(x)-f(y)| < e. 這在你先前的證明中很清

    楚地體現了...雖然 |x-y| = d/2 < d, 但 |f(x)-f(y)| 可以任意大, 因此當然

    不受 e 的限制, 不管 e 放得多寬.

    2014-02-17 11:47:43 補充:

    狂風的證明其實與你的證明是一樣的.

    你設定 |x-y| = d/2 < d, 發現 |f(x)-f(y)| 無上限, 可以突破任意 e > 0,

    其方法就是讓 x 任意靠近 0.

    而狂風的證明是設定 x, 設定 y 與 x 差距在 d 之內, 證明 |f(x)-f(y)|

    可以超過預定的 e. 不過, 他取的 x = 1/d 是有問題的. 事實上, 令

    y = x+d/2 如你做的, 則 |f(x)-f(y)| = |1/x - 1/y| = |x-y|/[x(x+d/2)] > d/(2x).

    只要 x 1.

    2014-02-17 11:48:29 補充:

    因為均勻連續是:

    給定任意 e > 0, 只要 x, y 差距足夠小 (存在 d > 0, 當 |x-y| < d),

    就保證 |f(x)-f(y)| < e.

    所以 "不為均勻連續" 就是

    存在 e > 0, 使得對任意 d > 0, 都找得到 x, y (在指定範圍中),

    使得 |x-y| < d 但 |f(x)-f(y)| > e.

    狂風是取 e = 1, 要證明對任意 d>0 都能找到 x, y 使上述結果成立.

    你是證明不管 e 設多少, 都能找到 x, y 使上述結果成立.

    2014-02-23 15:47:30 補充:

    我覺得討論到後來可能亂掉了...至少我沒耐心看被系統刪得

    亂七八糟的討論.

    f(x) 在 D 是 uniform continuous 是說:

    對任意 e>0, 存在 d>0, 使得

    只需 x, y 在 D 中滿足 |x-y| < d 就保證 |f(x)-f(y)| < e.

    所以, 非 uniform continuous 就是說:

    存在 e>0, 使得

    對於任意 d>0, 都找得到 x,y 在 D 中,

    雖然 |x-y| < d 但 |f(x)-f(y)| > e.

    所以, 你原來的證明是說對任意 e>0, 對任意 d>0,

    都能找到 x,y 滿足 |x-y| < d 而 |f(x)-f(y)| > e.

    而狂風提出的證明建議是取 e=1 來證就可以.

    只是他在取 x, y 時大概沒仔細算或誤植因而取的有問題.

    而他對均勻連續的解釋正是點出均勻連續與普通連續的差別.

    這是由定義可以理解的. 均勻連續是不管 x, y 在哪裡, 決定

    一個統一的 d 就可以控制 |f(x)-f(y)| < e; 而一般連續的 d 不

    但和 e 有關, 還也要看 x, y 在哪裡.

    以 f(x) = 1/x 為例, 給定一個 e > 0, 例如 e=1, 一個統一的

    d > 0 不能保證 |f(x)-f(y)| < e. 你原來的證明就是證明這事,

    只是你沒有確定 e 是多少, 而是說對任意 e>0 都是這樣.

    也許你以為證明 "非均勻連續" 就是要對任意 e>0 都能得到

    |f(x)-f(y)|>e 的結果. 但從定義上來看是只要找到一個 e>0 就

    可以.

    例如 f(x) = sin(1/x), 0 < x < 1. 所以 |f(x)-f(y)|="|sin(1/x)-sin(1/y)|,

    直觀地看, 當 x 靠近 0 時, x 小小的變動就能導致 1/x 很大的

    變動, 因此必能找到 x, y 使 |f(x)-f(y)| 大於某個 e, 例如 e=1/2.

    當然 e=1 在此例也可以, 但無論如何 |f(x)-f(y)|≦2, 也就是說:

    只要 e>2 必然有 |f(x)-f(y)| < e, 但你不能說 f(x) 在 (0,1) 均勻連

    續, 因為均勻連續必須對任意 e>0 都能保證 |f(x)-f(y)| < e.

    而這裡顯然 e=1/2 或 e=1 時是做不到的.

    具體的證明: 對任意 d>0, 取 n 是夠大的正整數使

    x=1/[(n+1/2)π] 則 1/y = 1/x+π 而 |y-x| = x(xπ)/(1+xπ) < x < d,

    |f(x)-f(y)| = |sin(1/x)-sin(1/x+π)| = |2sin(1/x)| = 2|sin(nπ+π/2)| = 2.

    2014-02-23 15:49:38 補充:

    以上回答也是被系統刪過, 雖然重新檢查重新修正, 但是否有哪裡因系統

    刪改問題而沒有注意修正到, 我也不能確定. 希望沒有嚴重錯誤.

  • Anonymous
    7 years ago

    到下面的網址看看吧

    ▶▶http://misshare168.pixnet.net/blog/post/86950298

  • 狂風:

    您的觀點是我不確定的。

    因為2d/6, d/6 這組 x, y是我們去選擇的,選擇了這組x,y就同時決定了| x-y| =d/6,也因此可以推導出| f(y)-f(x)| >e

    但是如果我們選擇另外的值呢?一定都會推導出| f(y)-f(x)| >e嗎?有沒有可能我找到一組x.y值恰好可以符合| f(y)-f(x)|

    2014-02-21 22:49:02 補充:

    天啊!怎麼資料都會被刪啊?

    2014-02-21 22:49:33 補充:

    怎麼樣才能夠讓爬文不會被刪掉?

  • 7 years ago

    糟糕,我真的寫了 1/d... 抱歉我當時有點渾沌,不過樓上的大大幫我修正了,真是謝謝你。

    樓主說:

    「所以當狂風 choose x=... and y=... such that f(y)-f(x)>e,以此來否證連續性時,我不太理解,為什麼這可以否證均勻連續性?我們不是應該更加縮小x.y的差距,讓| f(x)-f(y)|

    2014-02-19 01:06:28 補充:

    ...」

    可是我已經說 for any d, 了,所以再怎麼縮小也無法。我當時是要表達這個意思的。

    2014-02-19 01:37:49 補充:

    用形象一點的方式來幫你理解均勻連續。

    舉個例子:

    f(x) = x 是均勻連續的,因為當我們取 e = 1 時,我們用一堆長度是 d = 0.5 的小區間去鋪滿它的定義域,就可以保證這些小區間內的函數變化不會超過 e = 1。

    就算取更小的 e,只要用 d=e/2 去鋪就好了。

    看起來就像是:雖然函數一直變動(本例中是越來越大),不過我們用長度 d 這些小區間去檢視,就可以控制誤差都在的 e 之內。對於所有的 e 都要可以找到這個全域共用的 d 才行。

    2014-02-19 01:44:23 補充:

    反例:

    f(x) = 1/x 在 (0, 1)不是均勻連續的。假設我們不希望函數變化超過 1,可是不管我們用多小的 d 去鋪滿它的定義域,靠近 0 的那些區間,函數值的變化還是會太激烈,以至於超過 1。

    舉例完了。

    2014-02-21 19:59:16 補充:

    我是對所有 d 找到 x, y,使得所有 d 不行,不是找到 d,說它不行。

    我們看反證一:

    樓主以為你在反證一中只找了一對 x,y 嗎?你是對所有 d 都找了一對。

    當某人想宣稱某個 d 可以,我們只要找 2d/6, d/6 這組 x, y,就可以說某人錯;

    當某人又宣稱另一個 d' 可以,我們又只要找 2d'/6, d'/6 這組 x, y,就又可以說某人錯。

    不是嗎。

    2014-02-22 00:10:55 補充:

    樓上:是不是您打得字太多了阿,我常常這樣,很懊惱。

    我們選擇另外的 x y 值呢?可能可以沒錯,不過 uniformly continuous 要所有 x, y 都可以阿

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