微積分數學求解

Question

2X3-15X2+24X+3

求臨界數.漸增.漸減.凹凸性.反趨點和曲線圖形

(X+Y3)/(X-Y)=3

在點(2，1)

的直線方程式

Y3=Y的三次方

X3=X的三次方

Answer 1

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f(x)=2x³-15x² 24x 3

f '(x)=6x²-30x 24

f ''(x)=12x-30

一函數之極點，存在於其導函數之解，f '(x)=0，x=1或4，將1、4代入f(x)得y=14或-13

故其極點各為(1, 14)、(4, -13)。

一函數之反曲點，存在於其二階導函數之解，f ''(x)=0，x=30÷12=2.5，將2.5代入f(x)得y=0.5

故其反曲點為(2.5, 0.5)。

若一多項函數之領導係數(最高次係數)為正，其為漸增

若其切線皆在曲線之下方(f ''(x)>0)，則稱上凹(Concave upward)

若其切線皆在曲線之上方(f ''(x)<0)，則稱下凹(Concave downward)

圖為f(x)=2x³-15x² 24x 3之圖形，其中紅色部分為下凹，綠色部分為上凹

圖片參考：http://e.share.photo.xuite.net/redwhale/1e2d893/15...

原式=x y³=3(x-y)²

將該式微分得1 3y²y'=3-3y'，解dy/dx

得y'=2，將點(2, 1)代入得y'=1，其切線斜率亦即y'=13y² 333

，故所求之切線為x-3y=-1

Answer 2

因為電腦不太好打所以我用寫的

第一題

當f'(x)>0的時候f(x)會遞增

f'(x)求的是切線斜率

畫畫看遞增的曲線 就會發現每個點的斜率都大於0

反之則小於0

f'(x)=0的時候就是臨界點(極值所在)

f"(x)>0的時候指的是曲線在切線的上方 所以圖形會往上凹

f"(x)<0則是指曲線在切線的的下方 圖形會往下凹

等於0的時候就是反曲點 意思是圖形會由往上凹變成往下凹(或往下凹變成往上凹)

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AB02303338/o/2014011316...

圖形因為是人工畫的有點不明顯- -

不過應該還是稍微看得出來凹凸

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AB02303338/o/2014011316...

第二題考的是隱微分的概念

你可以先把y看成f(x)

f(x)^3微分時要用到chain rule

d f(x)^3 / dx = 3f(x)^2 × f'(x)

這時把它換回y 就會變成圖片中那樣子

(通常在算的時候不會這樣換啦 只是方便解釋~)

把y'求出來之後 就可以算切點的斜率了

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AB02303338/o/2014011316...

2014-01-14 03:59:13 補充：

第二題寫太快沒注意...

(3y^2+3)y'=2

所以除過去y'=2/(3y^2+3) .......

把(2,1)代入 得切線斜率= 2/(3+3) = 1/3

→ 直線方程式 : (y-1) = (x-2) / 3

→ x-3y = -1

抱歉噢

Source(s): 自己