1到2100的自然數中，滿足下列各條件之元素個數有幾個？

Question

1到2100的自然數中，7的倍數但不為2,3,5的倍數之元素個數有幾個？

Answer 1

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7的倍數數量-14的倍數數量-21的倍數數量-35的倍數數量+42的倍數數量+70的倍數數量+105的倍數數量-210的倍數數量，即為所求

2013-05-02 17:32:28 補充：

這是根據排容原理所提出的結論

2013-05-02 17:35:43 補充：

7的倍數數量=[2100/7]=300

14的倍數數量=[2100/14]=150

21的倍數數量=[2100/21]=100

35的倍數數量=[2100/35]=60

42的倍數數量=[2100/42]=50

70的倍數數量=[2100/70]=30

105的倍數數量=[2100/105]=20

210的倍數數量=[2100/210]=10

故300-150-100-60+50+30+20-10=80

答：80個

2013-05-02 17:40:09 補充：

這題的解題技巧是

以7的倍數數量-2,3,5的倍數數量

2013-05-02 17:40:51 補充：

至於2,3,5的倍數數量就要運用排容原理

2013-05-02 17:45:05 補充：

「排容原理」(Inclusion-Exclusion Principle)

在計數時， 為了使重疊部分不被重複計算，人們研究出一種新的計數方法， 這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況， 把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來， 然後再把計數時重複計算的數目排斥出去， 使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱為排容原理。

如果被計數的事物有A、B、C三類，那麼，A類或B類或C類元素個數

= A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數— 既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+ 既是A類又是B類而且是C類的元素個數

2013-05-02 17:51:44 補充：

把7的倍數中，2的倍數(即14的倍數)視為A類

7的倍數中，3的倍數(即21的倍數)視為B類

7的倍數中，5的倍數(即35的倍數)視為C類

則既是A類又是B類的元素個數就是7的倍數中，2與3的公倍數(即42的倍數)

既是A類又是C類的元素個數就是7的倍數中，2與5的公倍數(即70的倍數)

既是C類又是B類的元素個數就是7的倍數中，5與3的公倍數(即105的倍數)

既是A類又是B類而且是C類的元素個數就是7的倍數中，2,3,5的公倍數(即210的倍數)

2013-05-02 17:55:52 補充：

所以7的倍數中，2,3,5的倍數數量

=A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數— 既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+ 既是A類又是B類而且是C類的元素個數

=14的倍數數量+21的倍數數量+35的倍數數量-42的倍數數量-70的倍數數量-105的倍數數量+210的倍數數量

2013-05-02 17:56:08 補充：

再用7的倍數數量-2,3,5的倍數數量

=7的倍數數量7-[14的倍數數量+21的倍數數量+35的倍數數量-42的倍數數量-70的倍數數量-105的倍數數量+210的倍數數量]

=7的倍數數量-14的倍數數量-21的倍數數量-35的倍數數量+42的倍數數量+70的倍數數量+105的倍數數量-210的倍數數量

2013-05-02 18:00:01 補充：

其中

A類或B類或C類元素個數

= A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數— 既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+ 既是A類又是B類而且是C類的元素個數

是因為

A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數時，

既是A類又是B類的元素個數+既是A類又是C類的元素個數+既是B類又是C類的元素個數加了兩次，所以要扣掉一次

2013-05-02 18:02:24 補充：

又A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數時，

既是A類又是B類而且是C類的元素個數加了三次

但—既是A類又是B類的元素個數— 既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數時，

既是A類又是B類而且是C類的元素個數扣了三次

加了三次扣了三次等於沒有，所以要加回去

Source(s): 我的大腦