1到2100的自然數中,滿足下列各條件之元素個數有幾個?

1到2100的自然數中,7的倍數但不為2,3,5的倍數之元素個數有幾個?

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  • 8 years ago
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    7的倍數數量-14的倍數數量-21的倍數數量-35的倍數數量+42的倍數數量+70的倍數數量+105的倍數數量-210的倍數數量,即為所求

    2013-05-02 17:32:28 補充:

    這是根據排容原理所提出的結論

    2013-05-02 17:35:43 補充:

    7的倍數數量=[2100/7]=300

    14的倍數數量=[2100/14]=150

    21的倍數數量=[2100/21]=100

    35的倍數數量=[2100/35]=60

    42的倍數數量=[2100/42]=50

    70的倍數數量=[2100/70]=30

    105的倍數數量=[2100/105]=20

    210的倍數數量=[2100/210]=10

    故300-150-100-60+50+30+20-10=80

    答:80個

    2013-05-02 17:40:09 補充:

    這題的解題技巧是

    以7的倍數數量-2,3,5的倍數數量

    2013-05-02 17:40:51 補充:

    至於2,3,5的倍數數量就要運用排容原理

    2013-05-02 17:45:05 補充:

    「排容原理」(Inclusion-Exclusion Principle)

    在計數時, 為了使重疊部分不被重複計算,人們研究出一種新的計數方法, 這種方法的基本思想是:先不考慮重疊的情況, 把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來, 然後再把計數時重複計算的數目排斥出去, 使得計算的結果既無遺漏又無重複,這種計數的方法稱為排容原理。

    如果被計數的事物有A、B、C三類,那麼,A類或B類或C類元素個數

    = A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數— 既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+ 既是A類又是B類而且是C類的元素個數

    2013-05-02 17:51:44 補充:

    把7的倍數中,2的倍數(即14的倍數)視為A類

    7的倍數中,3的倍數(即21的倍數)視為B類

    7的倍數中,5的倍數(即35的倍數)視為C類

    則既是A類又是B類的元素個數就是7的倍數中,2與3的公倍數(即42的倍數)

    既是A類又是C類的元素個數就是7的倍數中,2與5的公倍數(即70的倍數)

    既是C類又是B類的元素個數就是7的倍數中,5與3的公倍數(即105的倍數)

    既是A類又是B類而且是C類的元素個數就是7的倍數中,2,3,5的公倍數(即210的倍數)

    2013-05-02 17:55:52 補充:

    所以7的倍數中,2,3,5的倍數數量

    =A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數— 既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+ 既是A類又是B類而且是C類的元素個數

    =14的倍數數量+21的倍數數量+35的倍數數量-42的倍數數量-70的倍數數量-105的倍數數量+210的倍數數量

    2013-05-02 17:56:08 補充:

    再用7的倍數數量-2,3,5的倍數數量

    =7的倍數數量7-[14的倍數數量+21的倍數數量+35的倍數數量-42的倍數數量-70的倍數數量-105的倍數數量+210的倍數數量]

    =7的倍數數量-14的倍數數量-21的倍數數量-35的倍數數量+42的倍數數量+70的倍數數量+105的倍數數量-210的倍數數量

    2013-05-02 18:00:01 補充:

    其中

    A類或B類或C類元素個數

    = A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數— 既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+ 既是A類又是B類而且是C類的元素個數

    是因為

    A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數時,

    既是A類又是B類的元素個數+既是A類又是C類的元素個數+既是B類又是C類的元素個數加了兩次,所以要扣掉一次

    2013-05-02 18:02:24 補充:

    又A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數時,

    既是A類又是B類而且是C類的元素個數加了三次

    但—既是A類又是B類的元素個數— 既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數時,

    既是A類又是B類而且是C類的元素個數扣了三次

    加了三次扣了三次等於沒有,所以要加回去

    Source(s): 我的大腦
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