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Karen Ke asked in 科學數學 · 7 years ago

從Utility求Demand Function

請大致說明下如何從Utility Function求得Demand Function的步驟。

另解題:

已知U(x1, x2) = ln x1 + 2 ln x2,x1p1 + x2p2 = m,求x1及x2的Demand Function

Update:

所以可說是用“p1 / p2 = MU1 / MU2”代入Budget equation來求解嗎?

不好意思,可否也用Quasilinear preference的情況下解題示範下?

如:U(x1, x2) = 4√x1 + x2

謝謝。

1 Answer

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  • 7 years ago
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    消費者均衡條件: MU/p = constant

    由 utility function 得 marginal utility (MU).

    MU1 = ∂U/∂x1 = 1/x1, MU2 = ∂U/∂x2 = 1/x2

    p1 = λ*MU1 = λ/x1, p2 = λ/x2 代入預算方程式,

    得 λ=m/2, 故 x1 = λ/p1 = (m/2)/p1, x2 = (m/2)/p2

    即:

    第一種財貨的需求曲線為:

    x = k/p, 本例 k = m/2

    第二種財貨的需求函數同第一種財貨.

    凡 utility function 符合需求理論之假設 (邊際效用遞減律),

    MU proportional to price 的均衡條件適用, 因而如上例之

    方法可得需求曲線. 就一般情形, 則在 budget line 限制下

    求 utility function 之最大值, 而後得出 x 與 p 的關係, 即

    需求函數.

    2013-03-24 09:54:01 補充:

    "可說是用“p1 / p2 = MU1 / MU2”代入Budget equation來求解嗎"

    [R] 是的.

    2013-03-24 10:30:32 補充:

    U(x1, x2) = 4√x1 + x2

    MU(x1) = 2/√x1, MU(x2) = 1

    MU(x1)/p1 = MU(x2)/p2 得 p1=2λ/√x1, p2=λ

    m = x1*p1+x2*p2 = 2λ√x1+λ*x2 = λ(2√x1 + x2)

    故 λ = m/(2√x1 + x2)

    得第一種財貨之均衡價格

    p1 = 2[m/(2√x1+x2)]/√x1 = 2m/(2*x1+x2*√x1)

    第二種財貨之均衡價格

    p2 = m/(2√x1 + x2)

    2013-03-24 10:30:48 補充:

    必須把上面 p1 中的 x2 與 p2 中的 x1 用 p1, p2 表示.

    聯立解 p1, p2 中之 x1, x2 得:

    x1 = 4(p2/p1)^2,

    x2 = m/p2 - 4*p2/p1

    故兩種財貨之需求曲線分別是:

    p1 = 2m/{2*x1+√x1*(m/p2-4*p2/p1)}

    = (2m+4*p2*√x1)/{2*x1+(m/p2)√x1}

    p2 = m/{4(p2/p1)+x2}

    上列 p1 的第2式是根據第1式解出 p1 而得.

    2013-03-24 10:36:09 補充:

    p2 = {√[(x2*p1)^2+16m*p1]-(x2*p1)}/8

    2013-03-24 10:37:16 補充:

    故兩種財貨之需求曲線分別是:

    p1 = 2m/{2*x1+√x1*(m/p2-4*p2/p1)}

    = (2m+4*p2*√x1)/{2*x1+(m/p2)√x1}

    p2 = m/{4(p2/p1)+x2}

    = {√[(x2*p1)^2+16m*p1]-(x2*p1)}/8

    上列 p1 的第2式是根據第1式解出 p1 而得,

    p2 類似.

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