========= ita(10) ==============?

Question

A progressão geométrica infinita (a1; a2, ..., an; ...) tem razão r < 0: Sabe-se que

a progressão infinita (a1; a6, ..., a5n+1; ...) tem soma 8 e a progessão infinita (a5; a10, ..., a5n; ...)

tem soma 2. Determine a soma da progressão infinita (a1; a2, ..., an; ...).

BOA SORTE!

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a6 = a1.r^5 => a1/ (1 - r^5) = 8 (I)

a10 = a5.r^5 => a5/(1 - r^5) = 2 (II)

De (I) e (II) temos a1 / 8 = a5 / 2. Como a5 = a1.r^4, temos:

a1 / 8 = a1.r^4 / 2 <=> r^4 = 1/4 <=> r = 1/raiz(2) = raiz(2)/2 (III)

Substituindo (III) em (I), temos:

a1 = 8.[1 - (raiz(2)/2)^5] = 8.[1 - 2.raiz(2)/32] = 8;[1 - raiz(2)/16]

Assim:

S = a1/(1 - r) = 8.[1 - raiz(2)/16]/(1 - raiz(2)/2) = 8.[(16 - raiz(2))/8]/[2 - raiz(2)] =

= [16 - raiz(2)]/[2 - raiz(2)] = [16 - raiz(2)[[2 + raiz(2)] / 2 = 30 +14.raiz(2) / 2 = 15 + 7.raiz(2)