========= IME(12) =============?

Question

Uma pirâmide reta possui como base um DODECÁGONO de arestas a.

As faces laterais formam um ângulo de 15° com o plano da base.

Determine o volume desta pirâmide em função de a.

A)a³√(√3+2)/2√(2-√3)

B)a³√(√3-2)/2√(2-√3)

C)a³√(√3-2)/√(2-√3)

D)a³√(√3-2)/√(2+√3)

E)a³√(2-√3)/√(√3-2)

Update:

√3-2 < 0 , isso elimina as opções B, C, D e E

Sobrou Opção A

A prova foi foi multipla escolha?

Answer 1

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www.elitecampinas.com.br/.../Elite_Resolve_ime_2012_Testes.pdf

DIFICIL COLOCAR AQUI PORQUE AS FIGURAS SÃO IMPORTANTES PARA O BOM ENTENDIMENTO. MAS TODOS OS EXERCICIOS ESTÃO RESOLVIDO NESTE LINK

PROCURE LÁ A SOLUÇÃO. INCLUSIVE DO OUTRO EXERCICIO QUE FOI CANCELADO

Answer 2

Hehe essa questão ja é mais complicada...

Vou pular umas contas demoradas ok? só pra vc entender a essencia...

Divide o dodecagono em 12 triangulos, sendo que todos eles tem um vertice no centro...

Como uma volta tem 360º.... então o angulo central de cada triangulo terá 360/12 = 30º

Escolhe um dos doze triangulos e traça sua altura. (altura relativa à base do triangulo). Chame a altura de x, por exemplo.

Como o triangulo é isosceles, então o angulo central de 30º ficou dividido em dois de 15º depois que traçei a altura...E depois que eu traçei a altura a base também ficou cortada em 2... ficou duas vezes a/2

Fazendo a tangente desse 15º nesse triangulo:

tg15º = (a/2) / x

E logo x = a / (2tg15º)

E a area desse triangulinho é dada por base vezes altura sobre 2.

A = b . h / 2

A = a . a / (2tg15º) . 1/2

A = a² / (4tg15º)

E a area do dodecagono inteiro é dada por 12 vezes isso:

Ad = 12a² / (4tg15º)

Ad = 3a² / (tg15º)

Agora precisamos da altura da piramide em função de "a".

Da uma olhada nesse triangulo retangulo: Um dos catetos é o x que eu chamei, o outro cateto é H (altura da piramide).... O ângulo oposto à H mede 15º (afirmação dada no enunciado)

Trigonometria novamente:

tg15º = H / x

H = x.tg15º

Só que x = a / (2tg15º), como descobrimos no começo.

Então, substituindo isso:

H = [a / (2tg15º)] * tg15º

H = a/2

Agora vamos para o volume da piramide

V = Ab.H / 3

V = [3a² / (tg15º)]*(a/2)*(1/3)

V = a³ / (2tg15º)

Para chegar no gabarito agora basta a gente calcular a tangente de 15º.

Utilizando a fórmula da subtração para tangentes:

Tg(x-y) = [tgx - tgy] / [1+tgx.tgy]

Subtraindo 30º de 45º:

tg(45º-30º) = [tg45º - tg30º] / [1+tg45º.tg30º]

tg(15º) = [tg45º - tg30º] / [1+tg45º.tg30º]

Assumindo que a tangente de 45 é 1 e que a tangente de 30 é √3/3... vc chega em:

tg(15º) = (3-√3) / (3+√3)

Voltando agora no volume da pirâmide:

V = a³ / (2tg15º)

Trocando esse valor de tangente nessa formula e fazendo a devida racionalização, vc encontra:

V = a³.(2+√3) / 2

Pode não parecer, mas é a mesma resposta do item A....

Se vc racionalizar a expressão do item A, vc vai chegar na expressão que cheguei.

Sinceramente não sei porque o IME não forneceu as respostar racionalizadas....

A expressão a³.(2+√3) / 2 é bem mais bonita do que a que ta na alternativa =)

=> Resposta: Alternativa A

~~~~~~~~~~~~~~~~~~

É verdade... eu nao tinha visto que √3 - 2 < 0....

Isso anula os intens B e D....

( O item C vc copiou errado... na prova está diferente...)

Essa questão é parte da prova de multipla escolha do IME

O IME sempre faz 15 questões de multipla escolhe e 10 abertas (isso de matematica)

' Laplace