======= ita(1994) --------?

Question

(ITA-94) A identidade: (x³+4)/(x³+1) = 1 +a/(x+1) + (bx+c)/(x²-x+1) é válida para todo real x ≠ -1.

Então a + b + c é igual a:

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

Answer 1

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simples: x³ + 4 = (x³ + 1) + 3 [ afinal 4 = 1+3]

então (x³+4)/(x³+1) = {(x³ + 1) + 3}/(x³ + 1) = 1 + 3/(x³+1)

agora usando a identidade (a³ + b³) = (a + b)(a² - ab + b²) temos que

(x³ + 1) = (x+1)(x² - x + 1)

(x³+4)/(x³+1) = 1 + 3/{(x+1)(x² - x + 1)}

3 = x² - x + 1 + 2 + x - x²

(x³+4)/(x³+1) = 1 + (x² - x + 1 + 2 + x -x²)/{(x+1)(x² - x + 1)} =

= 1 + 1/(x+1) + (2 + x - x²)/{(x+1)(x² - x +1)}

mas repare que 2 + x - x² = 1 + x + 1 - x² = (1 + x) + (1+x)(1-x) = (1+x)(1 + 1 - x) = (1+x)(2-x)

logo (2+x -x²)/(x+1) = (2-x) e então

(x³+4)/(x³+1) = 1 + 1/(x+1) + (2 - x)/(x² - x +1)

a = 1, b = -1, c = 2

a+b+c = 2

outro jeito de resolver é fazendo direto a soma das frações, talvez ele fosse mais seguro:

a/(x+1) + (bx+c)/(x² - x + 1). Para igualar os denominadores basta fazer:

a*(x² - x + 1)/{(x+1)(x²-x+1)} + (bx+c)*(x+1)/{(x+1)(x² -x +1)}

------^ multipliquei------^dividi

assim os denominadores estão iguais e podemos somar

a(x² - x + 1) + (bx+c)(x+1) = ax² - ax + a + bx² + bx + cx + c.

Em baixo o denominador ficou (x³ +1) [basta você multiplicar as expressões]

essa expressão grande tem que ser igual a 3

logo:

a + b = 0

b + c - a = 0

a + c = 3 ---> a =1, c=2, b=-1