======= ita(1992) ================?

Question

(ITA-92) Num triângulo ABC, retângulo em A temos B = 60° .

As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto D.

Se o segmento de reta BD mede 1 cm, então a hipotenusa mede:

a) (1 + √ 3)/2 cm

b) 1+ √ 3 cm

c) 2 + √ 3 cm

d) 1 + 2√ 2 cm

e) n.d.a.

Answer 1

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seja r o raio da circunferência inscrita no triangulo ABC

e E o ponto de tangencia sobre o lado AB

temos

sen(30º) = ED/BD = r/1 --> r = 1/2

cos(30º) = BE/BD = y/1 --> y = √3/2

como A = 90º --> A/2 = 45º --> tg(45º) = ED/AE = 1

AE = ED = 1/2

AB = AE + EB = 1/2 + √3/2

sen(30º) = AB/BC = 1/2

hipotenusa BC = 2AB = 2*(1 + √3)/2 = 1 + √3 cm (B)

pronto

Answer 2

angulo D = 180 - ( 60/2 + 90/2) = 105

lei dos senos no triangulo ABD

AB / sen 105 = BD / sen 45 onde BD = 1

AB = [ sen 105 (*) ] / [sen 45] = [ √ (2 + √ 3) / 2 ] / [ √ 2/2 ] = √ (2 + √ 3) / √ 2 (a)

cos 60 = AB / hipotenusa = 1 / 2

hipotenusa = [AB] 2 substituindo (a) temos

hipotenusa = [ √ (2 + √ 3) / √ 2 ] 2 = √ (4 + 2√ 3) (**) = √ [ (1 + √ 3)^2 ]= 1 + √ 3

resposta b

(*) sen 105 = sen ( 90 + 15) = sen90 cos15 + sen15 cos90 = 1 cos15 + sen 15 * 0 = cos 15

cos 15 = cos (30/2) como cos (X/2) = √ [ (1 + cosX ) /2 ]

cos 15 = √ [ (1 + cos30 ) /2 ] = √ [ (1 + √3/2 ) /2 ] = √ [ (2 + √3) / 4 ] = √ (2 + √ 3) / 2

sen 105 = √ (2 + √ 3) / 2

(**) (4 + 2√ 3) = ( 1 + 3 + 2√ 3) = [ 1^2 + 2*1*√ 3 + (√ 3) ^2 ] (***) = ( 1 + √ 3) ^2

(***) a^2 + 2ab + b^2 = (a+b) ^ 2