金翰
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金翰 asked in 科學其他:科學 · 8 years ago

關於拉格朗日方程式的疑問

關於Lagrange equation的適用性有兩個問題想請教

就是在Marion的書裡面讀到一段關於適用性的原文

以下兩點是書中說正確性需要下列這兩個條件

1.The forces acting on the system (apart from any forces of constraint) must be derivable from a potential(or several potentials).

2.The equations of constraint must be relations that connect the coordinates of the particals and may be functions of the time---that is,we must have constraint relations of the form given by equation 7.9

equation 7.9:f(xi,t)=0 i=1.2.3

對於第1點我想請教甚麼是constraint force(拘束力)?

另一個問題是書裡面有提到說第一點並不是必需的限制,甚至可以擴展到非保守力系統,所以意思是說只要滿足第2點Lagrange equation一定適用?是否還有附帶條件? 有請各位指教

1 Answer

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  • 8 years ago
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    他的邏輯應該是:只要滿足1.或2.的系統,Lagrange equation一定適用。

    但是1.跟2.的條件都頗強,其實都可以減弱的。

    意思就是對於1.,事實上有些非保守力系統也可以用Lagrangian來描述,

    邏輯是「Lagrangian formulation的適用範圍比書中考慮的更廣」。

    對於2., 事實上有些非holonomic(就是不是寫成eq.7.9的拘束力)拘束力也可以用Lagrangian來描述(例如Lorentz force是個例子)。

    事實上Lorentz force也是個「非保守力」的例子,

    因為如果你計算他的curl,你會發現他正比於磁場對時間的全微分,

    當dB/dt不為0時,Lorentz force可視為粒子在電磁背景場底下的非保守力。

    而Lorentz force又可以用Lagrangian formulation導出來,

    他的拘束力會是跟粒子速度有關,因此拘束力不是eq.7.9的形式,

    所以Lorentz force剛好是違背1., 2.兩個性質,又可以適用Lagrangian的例子。

    最後,拘束力就是說你的廣義坐標間有些關係,

    例如你讓一個小珠子滑下一個倒掛的圓錐面,

    因為珠子被限制在圓錐面上面跑,所以你的廣義坐標就不是每個都自由,

    而是之間有個關係,這個關係就常常可以用eq7.9來描述。

    Source(s): me
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