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淑君 陳 asked in 科學數學 · 9 years ago

向量微積分(張量)的問題 (急) !!!!

1. if V = −∇X + ∇ × A;

then

∇ · V = −∇^2X ;

∇ × V = ∇∇ · A − ∇^2A

2. With electromagnetic wave equations

∇ · E = 0;

∇ · B = 0;

∇ × E = − ∂B / ∂t ;

∇ × B = εˇ0μˇ0 ∂E/∂t;

derive

εˇ0μˇ0 ∂^2E/∂t^2= ∇^2E

and

εˇ0μˇ0∂^2B/∂t^2= ∇^2B

3. State the Helmholtz’s theorem with vector decomposition.

麻煩大大們請寫算式過程 !!!!

Update:

狗狗大大:

不好意思,我程度超差,所以你說的"Helmholtz" . "赫姆霍茲理論" . "del 運算

" 我完全都沒聽過,而且我們普物沒上到電磁學,所以我都不知道這是電磁學的東西 !!! 謝謝你 ^^

但是,你說的"del 運算" 這我完全看不懂 > < ,你可不可以寫詳細的算式過程,拜託 !!! 我是真的想弄懂 >

Update 2:

恩恩 ,第二三題我弄懂了,但是第一題,您說"解這題用不到這個"是說題目if 那行用不到嗎? 還有,您說"把第一行做 del 運算就會得到二三行",的第一行是 if 那行嗎? 然後二三行是 then 下面那兩行?可是這樣很矛盾,我有點看不懂,還有,"del 運算"是偏微分嗎?

Update 3:

狗狗大大:

我想再請問一下: 第三題, F = -∇V + ∇ × A 中的 F.V跟A是三個不同的向量場嗎? 所以我也可以寫成 V = -∇V + ∇ × V 嗎?

Update 4:

所以F是向量場? 因為-∇V 是梯度(向量場) ∇ × A 旋度(向量場) ?

Update 5:

對不起,我資質愚昧,我想再請問一下,您說的"一個沒旋度有散度 -∇V" 但是為什麼不是寫成∇ ·V(散度),∇V 不是梯度嗎? 而且為什麼多一個負號?

2 Answers

Rating
  • 狗狗
    Lv 5
    9 years ago
    Favorite Answer

    這應該不叫向量微積分了,這是電磁學

    1. 第一行就是 Helmholtz 了

    一個向量場有散度有旋度就能決定

    不過解這題用不到這個,是用兩個零等式

    ∇ × (∇ V) = 0

    ∇ · (∇ × A) = 0

    所以你把第一行做 del 運算就會得到二三行

    2. 用 Maxwell 推電場跟磁場,也是把式子做 del 運算

    翻普物或電磁課本就可以了

    3. 用向量分解建立赫姆霍茲理論

    一個向量場可以分成兩個場

    1.沒旋度可是有散度的場

    2.有旋度可是沒散度的場

    然後根據兩個零等式,沒散度場可以表示成另一個向量的旋度場

    沒旋度場可以表示成另一個純量的散度場

    所以 F = -∇V + ∇ × A

    2011-09-26 21:50:20 補充:

    補充一下第二題好了

    就 ∇ × ∇ × E 和 ∇ × ∇ × B 就能推出結果

    當然 ∇ × E 和 ∇ × B 是要用上題目給的 Maxwell

    2011-09-26 22:25:14 補充:

    這個符號 ∇ 本身叫做 del ,他運算上有微分、偏微的感覺

    現在我定義 V 是純量場、A是向量場

    ∇V = Grad V 就是算 V 的梯度

    ∇· A = Div A 就是算 A 的散度

    ∇ × A = Curl A 有的寫法是 Rot A 就是算 A的旋度

    至於什麼是散度、旋度、梯度

    物理意義、運算方式,你自己額外查吧,這三題剛好不太需要知道

    然後這兩條叫做零等式

    ∇ × (∇ V) = 0

    ∇ · (∇ × A) = 0

    他說一個純量場的梯度的旋度是零、一個向量場的旋度的散度也是零

    證明方法可以分物理意義或數學運算,不過也是可以背起來直接用

    2011-09-26 23:08:19 補充:

    意思是解這題只要做 del 運算

    不需要懂什麼是 Helmholtz

    只是這題目給的式子叫做 Helmholtz

    你就把第一題取散度 ∇ · V 跟旋度∇ × V 就可以了

    恩,del 有點微分跟偏微分的概念,但不能說他就叫微分或偏微分

    他是一種運算子,可以做散度、旋度、梯度

    2011-09-29 15:17:55 補充:

    不行哦,我這邊定義 V 是純量場、A是向量場,至於 F 是什麼場留給你猜

    根據 del 算子

    梯度是對純量場做運算

    散度旋度是對向量場做運算

    所以你說 V = -∇V + ∇ × V

    ∇ × V 這塊就不對了

    2011-09-29 15:20:30 補充:

    梯度是對純量場做運算,算出來是向量場

    散度是對向量場做運算,算出來是純量場

    旋度是對向量場做運算,算出來是向量場

    懂它的物理意義會比較好理解,或者知道它的數學算式,這邊我就不列了

    2011-09-29 16:40:36 補充:

    Clear !!

    所以現在我們可以更深入討論這個式子

    F = -∇V + ∇ × A

    我們先把一個向量場 F 拆成兩個向量場

    一個沒旋度有散度 -∇V

    一個沒散度有旋度 ∇ × A

    為什麼我這樣說,因為根據兩個零等式

    ∇ × (∇ V) = 0 它沒旋度

    ∇ · (∇ × A) = 0 它沒散度

    結論是原來任意一個 F 向量場,可以用一個純量 V 跟一個向量 A 表示

    這就是 helmholtz :)

    2011-09-29 20:30:20 補充:

    -∇V 是 V 的負梯度沒錯

    但它同時就是一個向量場了

    而且根據 ∇ × (∇ V) = 0

    可以知道 -∇V 這個向量場是沒有旋度的

    也就是說,今天一個沒有旋度的向量場

    可以表示成一個純量場的負梯度

    至於為什麼要表示負號的說法很多

    根據電磁課本教科書的說法,是為了配合電場跟電位的定義

    電場(E)是電位(V)的負梯度 E=-∇V

    磁通密度(B)是磁位(A)的旋度 B = ∇ × A

    Source(s): 電磁學, 電磁學
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  • 小魚
    Lv 6
    9 years ago

    利用 curl & div 的基本定義就可證得第1題 !

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