凸五邊形特性

Question

證明或反證：若P為凸五邊形ABCDE內一點，則∠PAB、∠PBC、∠PCD、∠PDE、∠PEA 中，必有一個角不大於54゜。

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我宣稱此命題為真.

證明

命題甲(原題): 若P為凸五邊形ABCDE內一點，則

∠PAB、∠PBC、∠PCD、∠PDE、∠PEA 中，必有一個角不大於54゜

現在把凸五邊形的點重新命名為AEDCB, 則原題可寫成:

命題乙: 若P為凸五邊形AEDCB內一點，則

∠PAE、∠PED、∠PDC、∠PCB、∠PBA中，必有一個角不大於54゜

這兩個命題為等價. (因為兩個命題的對象都是任意凸五邊形及其內的任意點P)

現在考慮一個任意的凸五邊形, 其內一點P

五個點依一個方向分別是A,B,C,D,E

它們依另一個方向就分別是A,E,D,C,B

(以上兩行實際只表示同一個任意的凸五邊形, 惟依不同方向稱呼那些點.)

現考慮以下十個角, 分為兩組.

I :∠PAB、∠PBC、∠PCD、∠PDE、∠PEA

II:∠PAE、∠PED、∠PDC、∠PCB、∠PBA

由於ABCDE (或依另一方向叫做AEDCB)是凸五邊形, P點又在其內.

所以 ∠PAB+∠PAE=∠EAB、∠PBC+∠PBA=∠ABC、...

故此, 以上十個角的總和是540° (五邊形內角和.)

現在, 假設原題為假. 即命題甲、乙都是假.

由於命題甲為假, 表示第 I 組的五個角都大於54°

同樣, 由於命題乙為假,表示第 II 組的五個角都大於54°

也就說這十個角都大於54°

它們的總和就大於540°

至此便出現矛盾然而, 故推翻原題為假之假設, 足證原題為真. 證畢.