正三角形內的三個相切圓半徑

圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AB00183634/o/1611052503...

如上圖,綠圓是正三角形的內切圓;黃圓外切綠圓,且與三角形的兩邊相切;

藍圓外切黃圓與綠圓,且與三角形的一邊相切。

已知正三角形邊長12+8√3,求三圓的半徑分別為何?

4 Answers

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  • 9 years ago
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    (1)大Δ的高H=(6+4√3)√3, 大半徑=H/3=2√3+4

    (2)大圓圓心連接中圓圓心與水平線,鉛直線圍成30, 60度直角Δ

    則 (R-m)/(R+m)= sin(30度)= 1/2, R=3m (m為中圓半徑)

    故 m=(2√3+4)/3

    (3)大圓中圓的外公切線段長= 2√(Rm)= 2√3 m

    大圓小圓的外公切線段長=2√(Rr)=2√3 √(mr)

    中圓小圓的外公切線段長=2√(mr)

    則 2√3 m= 2√3 √(mr)+ 2√(mr), √r = √3 √m /(√3 +1)= 1

    故 r=1

    公式:

    兩圓半徑a, b,外切, 則外公切線段長=√[(a+b)^2-(a-b)^2]=2√(ab)

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  • 釋大懺大師:

    小圓與中圓之外公切線長+小圓與大圓之外公切線長=中圓與大圓之外公切線長

    其實我也想好久才想到用這個等式的,

    沒事出題目為難自己,拿石頭砸自己的腳,真笨!

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  • 9 years ago

    一個懶人法:

    http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mi...

    (帶公式還是快多了)

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  • 9 years ago

    rb/(12+8√3)/2=tan 30=√3/3=0.57735

    rb=(√3/3)*(12+8√3)/2=(12√3+24)/6=4+2√3(大圓直徑)=7.4641

    check

    aa=12+8√3=25.85641

    rb=4+2√3=7.4641

    2011-05-25 15:57:28 補充:

    ra=aa/cos 30=(6+4√3)/(√3/2)=(12+8√3)/√3=(12√3+24)/3=8+4√3=14.9282

    bb=8+4√3-4+2√3=4+2√3

    bc=(4+2√3)/cos 30=(4+2√3)/(√3/2)=(8+4√3)/√3=(8√3+12)/3=4+(8/3)√3=8.6188

    rm/(4+(8/3)√3)/2=tan 30=√3/3=0.57735

    rm=(4√3+8)/6=(2√3+4)/3(中圓直徑)=2.488

    小圓直徑沒有這樣簡單

    2011-05-25 16:01:28 補充:

    小圓直徑沒有這樣簡單

    小圓直徑看起來有依有靠

    實際上無依無靠

    出題大師洩漏洩天機以免想破頭殼

    2011-05-26 17:27:33 補充:

    好題目

    不會是拿石頭砸自己的腳

    2011-05-26 18:55:36 補充:

    大圓直徑=4+2√3=7.4641=a

    中圓直徑=(2√3+4)/3=2.488=b

    小圓直徑=c

    中圓與大圓之外公切線長=小圓與中圓之外公切線長+小圓與大圓之外公切線長

    √((a+b)^2-(a-b)^2)=√((b+c)^2-(b-c)^2)+√((a+c)^2-(a-c)^2)

    √(4ab)=√(4bc)+√(4ac)

    √(ab)=√(bc)+√(ac)

    ab=bc+ac+2√(abc^2)=c(a+b)+2c√(ab)=c[(a+b)+2√(ab)]

    c=ab/[(a+b)+2√(ab)]

    ab=18.57

    √(ab)=4.309

    a+b=9.952

    c=1 哈哈哈 太妙了

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