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hy
Lv 6
hy asked in 科學數學 · 9 years ago

線積分(內含偏微)

圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AE03659136/o/1511051707...

請各位前輩指點 謝謝

Update:

先謝謝(煩惱即是菩提知識長)的回答

小弟還是不太明白

(1)第一行的化簡我就看不太懂了

ds要怎樣和dy和dx搭上關係

(2)C本題是逆時鐘那積分正負要怎麼定

(3)(By Green's thm or Stokes thm)

(a)可以請問Green's thm 的使用時機?為何本題可用?

<--直接套可算出後面的,但不知道為什麼可用?

(b)可以請問Stokes thm的使用時機?(而且不是有三種形式怎知用那個)為何本題又可用?

<---∫∫(▽×F)●ndA=∫F●dr那該如何用這個求出結果

以上問題煩請解惑!謝謝!

Update 2:

先謝謝(煩惱即是菩提知識長)的回答

小弟還是不太明白

1. n ds與切向量(dx,dy)垂直,向右轉90度, 故 n ds=(dy, -dx)

這句話我不太懂,題目也沒給x和y座標,而且取到不同點會影響結果嗎

向右轉90度我也不太懂

∂w/∂n ds=(∂w/∂x, ∂w/∂y)∙(dy, -dx)

<----w對n偏微怎麼轉到x和y呢?

2.

你說3.(a)兩定理的使用時機: vector filed為piecewise diff. 且曲線為piecewise smooth

Update 3:

<--可以請你就本題說明vector filed是指什麼?piecewise diff.要怎麼確定?

曲線為piecewise smooth要怎麼看?

3.

將xy平面曲線,視為空間曲線(但z=0),則Green為Stokes的特例

<--可是這兩個公式不是不一樣,可以請你用Stokes thm算給我看嗎

ps:

Stokes thm的三種形式何所指?

(a)

∫et●Fds=∫∫(n×▽)●FdA

(b)

∫et×Fds=∫∫(n×▽)×FdA

(c)

∫etBds=∫∫(n×▽)BdA

<----我也不知為何要有這三個

(煩惱即是菩提知識長)你看得出這三個有什麼用處嗎?

Update 4:

先謝謝(煩惱即是菩提知識長)的回答

小弟還是不太明白

1. ∂w/∂n表沿法向量n的方向導數, 故∂w/∂n=grad(w).n

又切向量=(dx, dy)改為複數(方便旋轉)得 dx+i dy, 順時針(因逆時針方向)轉90度得

(dx+i dy)*(-i)= dy - i dx, 故法向量n=(dy, -dx),與取點無關

---->

(a)

為何可以看出是沿法向量n的方向導數,方向導數的浮號不是全微分嗎?

為何這邊是偏微分?也就是方向導數是怎麼判斷出來的?

Update 5:

(b)

還有切向量,怎又順時針(因逆時針方向)轉90度得法向量?

這邊完全是霧煞煞可以再說簡單一點嗎?還有你的x和y座標怎麼定的?

可以用文字說明一下圖形嗎?

2(-3x^2+3y^2-2y, 6xy)為可微分函數

跟包含的點有關嗎?可不可以舉不可微分函數的例子

Update 6:

3.

向量(M(x,y), N(x,y), 0), 空間線積分∫_C (M dx+N dy+0 dz)

(Stokes thm)=∫∫_S curl(M,N,0).n dS = ∫∫_S (0, 0, ∂N/∂x-∂M/∂y).(0, 0, dxdy)

=∫∫_S (∂N/∂x-∂M/∂y) dxdy 即得Green's thm

----->這兩項怎麼求的

(a)curl(M,N,0)= (0, 0, ∂N/∂x-∂M/∂y)

(b)n dS=(0, 0, dxdy)

以上問題煩請解惑!謝謝!

Update 7:

謝謝(煩惱即是菩提知識長)的回答,你太神了

不過小弟還是有疑問想請教

(1)∂w/∂n為何不能寫成dw/dn表示成方向導數

像我看書上如f向量在某點e方向的方向導數

df/ds(e方向),這邊改成偏微我就不太清楚了

(2)

你說:切向量為(dx/dt, dy/dt), 每一點處法向量均為切向量順時針

旋轉90度(OK!?),故法向量為(-dy/dt, dx/dt)

--->這邊我想請問若是逆時針旋轉90度,法向量還會是(-dy/dt, dx/dt)?

感覺你的法向量是利用切向量和法向量內積而得的,還是別的方式阿

以上問題煩請解惑!謝謝!

Update 8:

謝謝(煩惱即是菩提知識長)的回答

小弟還是想請問

(1)

梯度的導函數都是偏導函數,而且所討論函數都不是單變數

沒有寫 dw/dn的理由

---->

是說若是w=多少x只有一變數就可寫成這樣嗎?

我看書上如f向量在某點e方向的方向導數定義

df/ds(e方向)=▽f.e

後面也是▽前面也沒改成偏微?

Update 9:

(2)

切向量為(dx/dt, dy/dt), 每一點處法向量均為切向量順時針

旋轉90度(OK!?),故法向量為(dy/dt, -dx/dt)

----->這邊我想請問的是

順時針旋轉90度負的給y方向

逆時針旋轉90度負的給x方向

因為垂直不就內積為零,那怎麼判斷負給誰

以上問題煩請解惑!謝謝!

Update 10:

謝謝(煩惱即是菩提知識長)不厭其煩的回答

小弟實在太感謝了,知識+有你真好

4 Answers

Rating
  • 9 years ago
    Favorite Answer

    ∂w/∂n ds=(∂w/∂x, ∂w/∂y)∙(-dy, dx)=(∂w/∂y)dx-(∂w/∂x)dy

    原積分=∫_C (∂w/∂y)dx-(∂w/x)dy

    (By Green's thm or Stokes thm)= -∫∫_A (∂^2 w/ ∂x^2+ ∂^2 w/∂y^2) dxdy

    =-∫∫_A (6y-6y+2) dx dy (A為橢圓內部)

    = -2*πab=-10π

    2011-05-18 00:00:24 補充:

    Sorry!沒看到您題目的圖案,normal是向外的,故 nds應是(dy, -dx), 故Ans:= 10π

    1. n ds與切向量(dx,dy)垂直,向右轉90度, 故 n ds=(dy, -dx)

    2.Green thm. or Stokes thm都是逆時針方向的

    3.(a)兩定理的使用時機: vector filed為piecewise diff. 且曲線為piecewise smooth

    Green使用於平面曲線的線積分與面積分(二重積分)的轉換

    Stokes使用於空面曲線的線積分與曲面積分的轉換

    2011-05-18 00:00:33 補充:

    將xy平面曲線,視為空間曲線(但z=0),則Green為Stokes的特例

    (b)不知Stokes thm的三種形式何所指? 就是∫(▽×F)●ndA=∫F●dr而已

    2011-05-18 01:42:49 補充:

    1. ∂w/∂n表沿法向量n的方向導數, 故∂w/∂n=grad(w).n

    又切向量=(dx, dy)改為複數(方便旋轉)得 dx+i dy, 順時針(因逆時針方向)轉90度得

    (dx+i dy)*(-i)= dy - i dx, 故法向量n=(dy, -dx),與取點無關

    2.本題vector field(function)=(-∂w/∂y, ∂w/∂x)=(-3x^2+3y^2-2y, 6xy)為可微分函數

    取線為橢圓,當然到處可微(圓滑)

    2011-05-18 01:44:50 補充:

    3. 向量(M(x,y), N(x,y), 0), 空間線積分∫_C (M dx+N dy+0 dz)

    (Stokes thm)=∫∫_S curl(M,N,0).n dS = ∫∫_S (0, 0, ∂N/∂x-∂M/∂y).(0, 0, dxdy)

    =∫∫_S (∂N/∂x-∂M/∂y) dxdy 即得Green's thm

    4. 看不懂您的3種Stokes

    Stokes: ∫_C F.dr = ∫∫_S curl(F).n dS

    2011-05-18 16:58:32 補充:

    1. 符號∂w/∂n,即為沿法向量n的方向導數,方向導數=grad(f)與該方向的內積

    該站在曲線上任意點,切向量為(dx/dt, dy/dt), 每一點處法向量均為切向量順時針

    旋轉90度(OK!?),故法向量為(-dy/dt, dx/dt), 則n ds= (-dy/dt, dx/dt)dt= (-dy, dx)

    ∂w/∂n ds=(∂w/∂x, ∂w/∂y)與(-dy, dx)內積=(∂w/∂y)dx - (∂w/∂x)dy

    2. 多項式函數當然到處可微分,為何有疑問?

    不可微分例: √(x^2+y^2) 在(0,0)處梯度就不存在,則(0,0)處不可微分

    2011-05-18 16:58:39 補充:

    3.平面向量函數(M(x,y), N(x,y))視為空間向量函數F=(M(x,y), N(x,y), 0)

    curf(F)=(0, 0, ∂N/∂x-∂M/∂y) (這是基本運算,若不會算,請多看點書)

    曲線在x,y平面上且逆時針方向,則所圍形成面積單元,大小dxdy, 方向(0,0,1),

    故 n dS=(0, 0, dx dy)

    2011-05-18 18:32:48 補充:

    (1)∂w/∂n為何不能寫成dw/dn表示成方向導數

    (沒看過dw/dn的寫法),梯度的導函數都是偏導函數,而且所討論函數都不是單變數

    沒有寫 dw/dn的理由

    (2).sorry! (法向量的方向都相反了)更正如下:

    切向量為(dx/dt, dy/dt), 每一點處法向量均為切向量順時針

    旋轉90度(OK!?),故法向量為(dy/dt, -dx/dt), 則n ds= (dy/dt, -dx/dt)dt= (dy, -dx)

    ∂w/∂n ds=(∂w/∂x, ∂w/∂y)與(dy, -dx)內積=(∂w/∂x)dy - (∂w/∂y)dx (方向相反)

    2011-05-18 22:47:08 補充:

    (1)∂w/∂n或dw/dn何者表示法向量方向的導函數不是重點,重要的是計算上都用偏導

    符號,不是單變數導數(d/dx),而且▽f.e也沒有單變數導數的意涵,故以∂w/∂n為宜

    (2)想像(dx/dt, dy/dt)指向第一象限,則順轉90度應指向第四象限,故得(dy/dt, -dx/dt)

    逆轉90度應指向第二象限,故為(-dy/dt, dx/dt)

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  • Anonymous
    5 years ago

    到下面的網址看看吧

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  • hy
    Lv 6
    9 years ago

    多謝沾滿血漬的淡菸兄的意見

    不過我沒劉老師的書,只有其他老師的

    本題菩提知識長講解得真沒話說,只是有些地方不明

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  • 9 years ago

    工數課本有經典證明 ~~

    2011-05-18 20:15:03 補充:

    可參閱劉明昌下冊工數,有詳細說明.

    話說這題,恰好是我當年應考的題目

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