? asked in 科學數學 · 9 years ago

求一題微積分(Critical point, ...).

求下面微積分題目,找出critical point和relative extrema

因為不會打出特殊符號 所以用中文表示

f(x,y)=(x+y)乘以e的1-x^2-y^2

對x和y進行偏微分時不太會

答案是Relative maximum (1/2,1/2,e^1/2)

3 Answers

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  • 9 years ago
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    f(x,y) = (x+y)e^{1-x^2-y^2}

    對 x 偏微分, 就是把 y 看成是常數, 所以

    f_x(x,y) = e^{1-x^2-y^2} + (x+y)e^{1-x^2-y^2}(-2x)

    = [1-2x(x+y)]e^{1-x^2-y^2}

    對 y 偏微, 是把 x 看成是常數, 因此

    f_y(x,y) = e^{1-x^2-y^2} + (x+y)e^{1-x^2-y^2}(-2y)

    = [1-2y(x+y)]e^{1-x^2-y^2}

    臨界點, 在函數處處可微的情況如本例, 就是

    f_x(x,y)=0=f_y(x,y)

    而由於 e^{1-x^2-y^2} 恆正, 因此

    f_x(x,y) = 0 <==> 1-2x(x+y) = 0,

    f_y(x,y) = 0 <==> 1-2y(x+y) = 0

    解之, 得 x=y = 1/2.

    在上列臨界點, 藉由對函數本身圖形的了解, 不難得知 f(x,y) 有一相對極大,

    也是絕對最大值. 但為了避免這種直觀解題可能產生的錯誤, 宜採用第2階

    導數測驗來做判斷.

    f_xx(x,y) = [(-4x-2y)+(1-2x^2-2xy)(-2x)]e^{1-x^2-y^2}

    f_yy(x,y) = [(-2x-4y)+(1-2xy-2y^2)(-2y)]e^{1-x^2-y^2}

    f_xy(x,y)=f_yx(x,y) = [-2y+(1-2xy-2y^2)(-2x)]e^{1-x^2-y^2}

    當 (x,y) = (1/2,1/2) 時, 得

    f_xx(1/2,1/2) = -3e^{1/2} = f_yy(1/2,1/2),

    f_xy(1/2,1/2) = f_yx(1/2,1/2) = -e^{1/2}.

    由於判別式 (f_xx)(f_yy)-(f_xy)(f_yx) > 0, 且 (f_xx) < 0,

    根據第2階導數測驗可知 f(x,y) 在 (1/2,1/2) 得相對極大

    f(1/2,1/2) = e^{1/2}.

    2011-05-01 11:44:52 補充:

    同意樓上意見.

    已經至少學到求解極值問題了, 對如何做偏微還沒有

    基本認知, 實在很需要加強!

  • 9 years ago

    請問有根號的偏微怎麼解?

    如 X平方-Y平方的開根號

  • Allen
    Lv 4
    9 years ago

    偏微是基礎

    如果不太會怎麼解題

    先去解個50題偏微再說吧

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