工數 direction field

Question

課本上寫說direction field分為兩種

一種是by CAS (Computer Algebra System)

一種是by using Isoclines

我想請問這兩種方法是什麼意思阿

課本上好像有說一個適用斜率還怎樣的

請問有人能詳細解說這兩種direction field要怎麼繪製嗎

謝謝

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ODE dy/dx=f(x,y), 可以用direction field解釋

即找一曲線滿足點(x,y)處切線斜率=該處函數值f(x,y)

direction field的作法有2種:

1. by CAS(藉由電腦)

即給點(x,y),由CAS求f(x,y)值,再描繪一小線段(斜率=函數值)

電腦可快速對螢幕上每個點(grid)繪出一小線段,所得的圖形(影像)即為

y'=f(x,y)所指的direction field(想像似氣象的衛星雲圖)

2. by using isoclines

iscoline(等斜率線,等位線,等壓線,等高線...)即曲線 f(x,y)=c

在曲線f(x,y)=c上每一個點,畫一斜率為c的小線段

想像找出很多曲線f(x,y)=c,並逐一曲線逐點畫出小線段,

即得 y'=f(x,y)的direction field

例. y'=x的direction filed作圖

曲線x=c為鉛直線族, 在每一條鉛直線上每一個點畫一小線段斜率=c,如下圖:

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06565267/o/1010100204...

注意:上圖中藍色小線段圖才是y'=x的direction field,

每一條紅色鉛直線是輔助說明用的,紅線上每個小線段斜率=x值,

如y軸(x=0)上每線段斜率均為0, 最右側紅線x=2上每線段斜率均為2

第一個方法勤快的電腦可以輕鬆完成

第二個方法學者本身可以作出(direction field)草圖或想像圖

(聽說早期氣象上的等壓線圖就是人工繪製,將各氣象站回報氣壓相同的點,

用圓滑曲線相連而成的)

但對複雜函數f(x,y),人類還是不容易找出其等位線f(x,y)=c圖形,

例如x^3-xy+y^2=c,方程式還算容易,但其圖形仍不易掌握