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小林
Lv 4
小林 asked in 科學數學 · 10 years ago

[微積分]向量分析的題目

→ x → y → → → →

F = ─── i + ─── + j + k , r = (x,y,z) , dr = (dx,dy,dz)

x^2+y^2 x^2+y^2

q → →

p = (1,2,3) , q = (4,5,6) , ∫ F‧dr = ?

p

是不是要另x y z =t 然後0<t<3 帶進去求呢?

可是分母有 x^2+y^2 我不會積分

感謝!!

Update:

想請問這一題算出curl F=0

所以F為保守力所以應該可以用f(x(b),y(b)) - f(x(a),y(a))的方式解沒錯吧?

可是我解出來的答案不太一樣耶

感謝!!

Update 2:

還是題目沒有說明兩點是直線的話是不是就不能用設參數t的方法

只能用f(x(b),y(b)) - f(x(a),y(a))呢?

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    p~q參數化得(x,y,z)=(1+t,2+t, 3+t), t=0~3

    x^2+y^2=(1+t)^2+(2+t)^2=2t^2+6t+5, dr=(1,1,1)dt

    ∫[p~q] F‧dr

    =∫[0~3] [(1+t)+(2+t)+(2t^2+6t+5)]/(2t^2+6t+5) dt

    =∫[0~3] [(2t+3)/(2t^2+6t+5) + 1] dt

    =(1/2) ln(2t^2+6t+5) + t 代t=0~3

    = (1/2) ln(41/5) + 3

    2010-06-22 03:15:03 補充:

    本題向量函數(受力)為保守力沒錯,F=Grad( 0.5ln(x^2+y^2)+ z)=Grad(U(x,y,z))

    故線積分結果為U(終點)-U(起點)= U(4,5,6)-U(1,2,3)=0.5ln(41)+6- 0.5U(5)-3=0.5ln(41/5)+3

    題目沒指明曲線的形式,顯然暗指與路徑無關,故任意路徑結果都相同

    本題作答時,沒發現位能函數U(x,y,z)=0.5ln(x^2+y^2)+z, 故直接積分之

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