矩陣和彈簧震動方程式

1.一個二階矩陣不能對角化的理由要如何舉例說明之??

2.有阻尼的彈簧振動系統,my''+cy'+ky=0

在相平面畫出y和y' 的關係是震盪成指數衰減的週期函數嗎??

Update:

不好意思

那如果是直接對y和時間t作圖

那圖案形式就是 過阻尼 臨界阻尼 低阻尼三種圖的畫法樓??

1 Answer

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  • 天助
    Lv 7
    1 decade ago
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    Q1:不能對角化的理由很單純,就是獨立的特徵向量不足,例A=[2 1//0 2]=

    [ 2 1]

    [ 0 2]

    eigenvalue=2, 2, eigenvector只有一個[0 1]^t (不是2個,so,不能對角化)

    Q2:

    Set u=y, v=y', U=[u v]^t, then

    u'= v

    v'=(-k/m)u+(-c/m)v

    i.e. U'=AU, where A=[0 1 // -k/m -c/m]

    characteristic eq. of A=x^2+(c/m)x+(k/m)=0 or mx^2+cx+k=0,

    hence, x=[-c+sqrt(c^2-4mk)]/(2m).

    If c^2>4mk, then the system is overdamping, no oscillation.

    (相平面上為 sink)

    if c^2<4mk, then the system is underdamping(oscillates and dacay exponentially)

    (相平面上為 spiral, 即繞圈圈,繞回O點)

    if c^2=4mk, 則有共振(resonace)現象, 相平面上為spiral但向外繞圈

    2010-02-06 23:36:03 補充:

    yes!

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