郭逸軒 asked in 科學數學 · 1 decade ago

高微有關sequentially compact、cover

有沒有人可以幫我把以下的定義都各舉一個簡單的例子,舉的例子是符合下面的定義:

(1)sequentially compact

(2)cover

(3)open cover

(4)subcover

(5)finite subcover

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  • 1 decade ago
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    高微 (數學整體亦然) 的定義不能只記片面, 要知道怎麼用這些專有名詞描述一個數學現象. 這好比背單字不是英文-中文, 而是同時要知道它的用法. 以下我只就問題舉實例,定義請翻閱任何一本高微。

    (1) ex: 在R^1 中,[0,1] 是一個sequentially compact set ,因為任給一個[0 , 1]中的數列,必有一個收斂子列收斂於[0,1]內(Bolzano Weierstrass Theorem); 而 (0,1) 則否,反例:a_n = 1/n , 它不收斂於(0 , 1) 區間。

    (2) ex: 在 R^1 中,U = { [-1,2] } , V = {(-1 , 1/2),(1/3 , 2/3) , (1/2 , 1)}皆是 K= [0,1] 的cover ,因為K中的每一個點皆落在U 裡面的某一個集合中,也落在V裡面某個集合中。而W = { (1/n,1] : n為自然數 } 則否,因為 K中的0 不落在任何一個W內的集合。

    (3) ex: R^2中,U = { 半徑為k的開圓 : k>10 } 是K= 半徑為0.5的閉圓 的一個open cover , 因為U是一個K的cover 且U中每個集合都是open .

    (4) 沿用(3) V = { 半徑為k的開圓 : k = 11, 12 , 13 } 是一個U 的subcover , 因為它是從U內取出部分所成的集合而且也cover K。

    (5) 沿用(3)(4),V同時也是一個U 的finite subcover,因為它是finite 也是一個U的 subcover。

    Source(s): 高微
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