代數permutation的題目

Question

題目是  Determine integers n for which H={阿法屬於An | (阿法)^2=e} is a 
           subgroup of An 其中 An=the set of all even permutation in Sn.  
           Sn:{all permutation on {1,2,...,n}}.  e=identity permutation.

我解到一半就解不下去了 

我的解法  If n=1 =&gt; H={阿法屬於A1 | (阿法)^2=e}={(1)}={e}
              By one step test, 存在e,inverse of e屬於H s.t. e*inverse of e=e屬於H
                                       =&gt; H is subgroup of A1.
              If n=k =&gt; H={阿法屬於Ak | (阿法)^2=e}.  Assume that H is subgroup 
              of Ak.
              If n=k+1 =&gt; H={阿法屬於A(k+1) | (阿法)^2=e}
              如何證明 H is subgroup of A(k+1)?

cutebaby · Accepted Answer

這個題目不是去證明吧~ 是去 [ Determine ] 喔!

若 H is a subgroup of An, 則 H 必須滿足以下三個性質 :

(1) e 屬於 H. ( 這沒問題~ 因為 e^2 = e 且 e 屬於 An)

(2) 若 h 屬於 H, 則 h^(-1) 也屬於 H. (這也正確~ 因為 h^2 = e 二邊乘上 ( h^(-1) )^2 )

(3) 若 g , h 屬於 H , 則 gh 也屬於 H. (這個問題很大)

因為 gh 屬於 H <--> ghgh = e = gghh <--> hg = gh

所以必須是 An 是 abelian <--> n = 1,2,3

此時才會 H is a subgroup of An

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[參考資料]

http://wikipedia.findthelinks.com/al/Alternating_g...

最後一行 : The group An is abelian iff n ≤ 3

2009-11-29 19:36:09 補充：

Copestone 大大說的沒錯~

我 Post 後就發現寫的不太對，因為要顧小孩沒時間更正，現在可以偷閒一下!

應該是說：如果 h 屬於 H，g 屬於 A_n --> ghg^(-1) 也屬於 H --> H 是 A_n 的 normal subgroup.

(因為 [ ghg^(-1) ]^2 = [ ghg^(-1) ]*[ ghg^(-1) ] = e)

但是我們知道當 n >= 5 時，A_n 是 simple group，所以 H = {e} 或 A_n --> 矛盾!

( 因為 (12)(34) 屬於 H，(123) 不屬於 H --> H <> {e} 且 H <> A_n)

2009-11-29 19:44:36 補充：

其他情形就一一討論：

(1) n=1：A_1={e} --> H = {e} 為 A_1 的 subgroup.

(2) n=2：A_2={e} --> H = {e} 為 A_2 的 subgroup.

(3) n=3：A_3={e,(123),(132)} --> H = {e} 為 A_3 的 subgroup.

2009-11-29 19:44:43 補充：

(4) n=4：A_4={e,(12)(23),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)}

--> H = {e,(12)(23),(13)(24),(14)(23)} 為 A_4 的 subgroup.

所以只有在 n=1,2,3,4 時，題意的 H 為 A_n 的 subgroup. (同時也是 normal subgroup)

2009-11-29 19:46:18 補充：

謝謝 Copestone 大大指點~

我已經更正了，看看對不對!

還是大大有更快的方式!

2009-11-29 21:45:43 補充：

Copestone 大大是說：

我的證明必須修正：從 (3) 可以推定 H 是可交換群，而非 A_n 是交換群。

因為 A_4 不是可交換群，而 H 是可交換群，所以我漏掉 n=4 的答案。

2009-11-29 21:59:44 補充：

修正一下，打太快!

A_4={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)}

H = {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

2009-11-29 22:01:10 補充：

A_4 與 H 是不一樣喔!

A_4={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)}

H = {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} 同構於 Z_2 ⊕ Z_2

而且 (1 2)(3 4)(1 3)(2 4) = (1 3)(2 4)(1 2)(3 4)

2009-11-29 22:01:43 補充：

H={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} 同構於 Z_2 ⊕ Z_2

因為他們均是這樣的結構：

G = {e,i,j,k} 滿足

(1) e 為運算單位元：ge = eg = g ( 任意 g 屬於 G )

(2) g^2 = e ( 任意 g 屬於 G )

(3) ij = ji = k、ik = ki = j、 jk = kj = i

2009-11-29 22:11:00 補充：

H={e,(12)(23),(13)(24),(14)(23)} 同構於 Z_2 ⊕ Z_2

所以 H 是 group，而且是 A_4 的 subset --> 所以 H 是 A_4 的 subgroup

所以本題是當 n = 1, 2, 3 或 4 時 --> H 是 A_n 的 subgroup.

2009-11-29 22:17:49 補充：

一開始的證明要說是 H 只要具有【交換性】的話 --> H 就是 A_n 的 subgroup.

所以只要修正內容為：

當 n>= 5 時，因為 (12)(34)、(15)(34) 屬於 H ，但是[(12)(34)]*[(15)(34)]<>[(15)(34)]*[(12)(34)]

所以 H 不具有【交換性】，所以 H 不為 A_n 的 subgroup.

分別討論 n = 1, 2, 3 或 4 時 --> H 為 A_n 的 subgroup.

Copestone · Answer

cutebaby：

你只證明了 H 是子群的條件，等價於 H 為可交換群。

又怎麼看出連 A_n 也必須是可交換的？

你這一次因為認為是 trivial 而跳步的麼？可是我非常肯定這是錯的！

Look carefully at A_4, and let H be the subgroup, {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. 〔H 其實就是 Z_2 ⊕ Z_2 這個可交換群〕

〔OK, 這題的確是 trivial 的，不過還有玄機。〕

2009-11-30 16:07:20 補充：
cutebaby：

很好啊，更正後是對的。〔不過你的補充內容時隱時現，難道是奇摩不想人過早偷看你的解答？〕

大意證明步驟如下：

〔１〕證明：H 為 A_n 的子群，是等價於 H 內任意二元素為可交換的。
〔２〕當 n > 4 時，對應之 H 內必有二元素為不可交換。
〔３〕當 n = 1, 2, 3, 4，可直接驗證〔１〕內對 H 之充要條件成立。〔n=1, 2, 3 時，H 為 trivial 〔即單位元群〕。至於 n = 4 時，有好幾種方法輕易看出 H 為可交換群。〕

｛另一個玄機就在：若 H 為 A_n 之子群，必為正規子群〔normal subgrop〕，不過寫不寫出來也無所謂。｝

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