心情
Lv 4
心情 asked in 科學數學 · 1 decade ago

代數permutation的題目

題目是 Determine integers n for which H={阿法屬於An | (阿法)^2=e} is a

subgroup of An 其中 An=the set of all even permutation in Sn.

Sn:{all permutation on {1,2,...,n}}. e=identity permutation.

我解到一半就解不下去了

我的解法 If n=1 => H={阿法屬於A1 | (阿法)^2=e}={(1)}={e}

By one step test, 存在e,inverse of e屬於H s.t. e*inverse of e=e屬於H

=> H is subgroup of A1.

If n=k => H={阿法屬於Ak | (阿法)^2=e}. Assume that H is subgroup

of Ak.

If n=k+1 => H={阿法屬於A(k+1) | (阿法)^2=e}

如何證明 H is subgroup of A(k+1)?

Update:

我知道我的解法錯了

抱歉

你是說A_4=H={(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

H 不是可交換群 since (1 2)(3 4)(1 3)(2 4)不等於(1 3)(2 4)(1 2)(3 4)

So H is not a subgroup of A4.

So n不等於4

〔H 其實就是 Z_2 ⊕ Z_2 這個可交換群〕

是什麼意思?

Update 2:

H={e,(12)(23),(13)(24),(14)(23)} 同構於 Z_2 ⊕ Z_2

因為他們均是這樣的結構:

G = {e,i,j,k} 滿足

(1) e 為運算單位元:ge = eg = g ( 任意 g 屬於 G )

(2) g^2 = e ( 任意 g 屬於 G )

(3) ij = ji = k、ik = ki = j、 jk = kj = i

=> H={e,(12)(23),(13)(24),(14)(23)} 是A_4的subgroup since H is abelian.

Determine n=?

2 Answers

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  • 1 decade ago
    Favorite Answer

    這個題目不是去證明吧~ 是去 [ Determine ] 喔!

    若 H is a subgroup of An, 則 H 必須滿足以下三個性質 :

    (1) e 屬於 H. ( 這沒問題~ 因為 e^2 = e 且 e 屬於 An)

    (2) 若 h 屬於 H, 則 h^(-1) 也屬於 H. (這也正確~ 因為 h^2 = e 二邊乘上 ( h^(-1) )^2 )

    (3) 若 g , h 屬於 H , 則 gh 也屬於 H. (這個問題很大)

    因為 gh 屬於 H <--> ghgh = e = gghh <--> hg = gh

    所以必須是 An 是 abelian <--> n = 1,2,3

    此時才會 H is a subgroup of An

    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

    [參考資料]

    http://wikipedia.findthelinks.com/al/Alternating_g...

    最後一行 : The group An is abelian iff n ≤ 3

    2009-11-29 19:36:09 補充:

    Copestone 大大說的沒錯~

    我 Post 後就發現寫的不太對,因為要顧小孩沒時間更正,現在可以偷閒一下!

    應該是說:如果 h 屬於 H,g 屬於 A_n --> ghg^(-1) 也屬於 H --> H 是 A_n 的 normal subgroup.

    (因為 [ ghg^(-1) ]^2 = [ ghg^(-1) ]*[ ghg^(-1) ] = e)

    但是我們知道當 n >= 5 時,A_n 是 simple group,所以 H = {e} 或 A_n --> 矛盾!

    ( 因為 (12)(34) 屬於 H,(123) 不屬於 H --> H <> {e} 且 H <> A_n)

    2009-11-29 19:44:36 補充:

    其他情形就一一討論:

    (1) n=1:A_1={e} --> H = {e} 為 A_1 的 subgroup.

    (2) n=2:A_2={e} --> H = {e} 為 A_2 的 subgroup.

    (3) n=3:A_3={e,(123),(132)} --> H = {e} 為 A_3 的 subgroup.

    2009-11-29 19:44:43 補充:

    (4) n=4:A_4={e,(12)(23),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)}

    --> H = {e,(12)(23),(13)(24),(14)(23)} 為 A_4 的 subgroup.

    所以只有在 n=1,2,3,4 時,題意的 H 為 A_n 的 subgroup. (同時也是 normal subgroup)

    2009-11-29 19:46:18 補充:

    謝謝 Copestone 大大指點~

    我已經更正了,看看對不對!

    還是大大有更快的方式!

    2009-11-29 21:45:43 補充:

    Copestone 大大是說:

    我的證明必須修正:從 (3) 可以推定 H 是可交換群,而非 A_n 是交換群。

    因為 A_4 不是可交換群,而 H 是可交換群,所以我漏掉 n=4 的答案。

    2009-11-29 21:59:44 補充:

    修正一下,打太快!

    A_4={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)}

    H = {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

    2009-11-29 22:01:10 補充:

    A_4 與 H 是不一樣喔!

    A_4={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)}

    H = {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} 同構於 Z_2 ⊕ Z_2

    而且 (1 2)(3 4)(1 3)(2 4) = (1 3)(2 4)(1 2)(3 4)

    2009-11-29 22:01:43 補充:

    H={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} 同構於 Z_2 ⊕ Z_2

    因為他們均是這樣的結構:

    G = {e,i,j,k} 滿足

    (1) e 為運算單位元:ge = eg = g ( 任意 g 屬於 G )

    (2) g^2 = e ( 任意 g 屬於 G )

    (3) ij = ji = k、ik = ki = j、 jk = kj = i

    2009-11-29 22:11:00 補充:

    H={e,(12)(23),(13)(24),(14)(23)} 同構於 Z_2 ⊕ Z_2

    所以 H 是 group,而且是 A_4 的 subset --> 所以 H 是 A_4 的 subgroup

    所以本題是當 n = 1, 2, 3 或 4 時 --> H 是 A_n 的 subgroup.

    2009-11-29 22:17:49 補充:

    一開始的證明要說是 H 只要具有【交換性】的話 --> H 就是 A_n 的 subgroup.

    所以只要修正內容為:

    當 n>= 5 時,因為 (12)(34)、(15)(34) 屬於 H ,但是[(12)(34)]*[(15)(34)]<>[(15)(34)]*[(12)(34)]

    所以 H 不具有【交換性】,所以 H 不為 A_n 的 subgroup.

    分別討論 n = 1, 2, 3 或 4 時 --> H 為 A_n 的 subgroup.

  • 1 decade ago

    cutebaby:

    你只證明了 H 是子群的條件,等價於 H 為可交換群。

    又怎麼看出連 A_n 也必須是可交換的?

    你這一次因為認為是 trivial 而跳步的麼?可是我非常肯定這是錯的!

    Look carefully at A_4, and let H be the subgroup, {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. 〔H 其實就是 Z_2 ⊕ Z_2 這個可交換群〕

    〔OK, 這題的確是 trivial 的,不過還有玄機。〕

    2009-11-30 16:07:20 補充:

    cutebaby:

    很好啊,更正後是對的。〔不過你的補充內容時隱時現,難道是奇摩不想人過早偷看你的解答?〕

    大意證明步驟如下:

    〔1〕證明:H 為 A_n 的子群,是等價於 H 內任意二元素為可交換的。

    〔2〕當 n > 4 時,對應之 H 內必有二元素為不可交換。

    〔3〕當 n = 1, 2, 3, 4,可直接驗證〔1〕內對 H 之充要條件成立。〔n=1, 2, 3 時,H 為 trivial 〔即單位元群〕。至於 n = 4 時,有好幾種方法輕易看出 H 為可交換群。〕

    {另一個玄機就在:若 H 為 A_n 之子群,必為正規子群〔normal subgrop〕,不過寫不寫出來也無所謂。}

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