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Scharze space asked in 科學數學 · 1 decade ago

初等泛函(Banach space)

Show that there is no sequence <a_n> of positive numbers such that Σa_n|C_n|<∞

iff <c_n> is bounded

2 Answers

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  • 1 decade ago
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    題目有誤吧〔Folland?〕

    隨便令 c_n = 1, a_n = (1/2)^n 就錯了。

    2009-11-21 22:59:50 補充:

    題目明顯有誤,反例在意見欄。

    ===

    為方便打字,以下所有求和都是從 1 到 ∞,不再標明。而所有序列皆為複數序列。

    一個相似的正確之命題如下。

    不存在序列 {c(n)} 使得:

    對任何 {a(n)},

    〔1〕∑ a(n) 為絕對收斂

    〔2〕{c(n).a(n)} 是一個有界序列。

    【證明】如果存在這樣的 {c(n)},則必然對所有 n, c(n) ≠ 0〔因為如果 c(m) = 0, 則可選 |a(m)| 任意大,故 〔2〕⇒〔1〕必不成立〕。

    由於〔1〕與〔2〕為等價,

    於是可如下定義 T: ℓ^∞ → ℓ^1:

    T(b)(n) = b(n)/c(n).

    則 T 必為 onto 的線性算子。

    常數序列 {1} ∈ ℓ^∞, 因此 {1/c(n)} ∈ ℓ^1, 即 ∑ 1/|c(n)| < ∞。因此 T 是有界的〔因為如果 ||b||_∞ ≤ 1, 即對所有 n, |b(n)| ≤ 1, 則 ||T(b)||_1 ≤ ∑ 1/|c(n)| < ∞。〕

    由於 ℓ^∞ 及 ℓ^1 皆為 Banach 空間,由開映射定理,T 是一個 open map。

    T 也是 one-one 的〔若 a ≠ b, 則存在 n, T(a)(n) ≠ T(b)(n),亦即 T(a) ≠ T(b)〕。

    綜上所得,T 是一個 homeomorphism。但 ℓ^1 是 separable, 而 ℓ^∞ 卻不是,矛盾。故命題中的 {c_n} 確實不存在。

    2009-11-21 23:27:24 補充:

    原題應更改為:There is no sequence {a_n} of positive numbers such that Σ |c_n| <∞ if and only if {(a_n)(c_n)} is bounded.

    我證明的命題比這個廣了一點點。另外,在證明時不小心把 a, c 的角色互換來寫,打完字後才發現就懶得再一一改回來了。

    2009-11-22 04:20:50 補充:

    如有亂碼,&sum 為求和符號 ∑;而 &ne 為不等於符號 ≠

    2009-11-23 15:59:03 補充:

    唉,這樣看來,001 中的意見是當日誤會了 Folland 的題意。

    我的命題跟 Folland 要說的大概意思是一樣的。Folland 少加了一個 quantifier,所以說得不是很清楚:

    他原題應該是:

    Show that there is no sequence {a_n} of positive numbers such that

    「for all sequences {c_n}」,

    Σa_n|C_n|<∞

    iff {c_n} is bounded

    我最初讀成 for some sequence 了。好像也不太應該這樣去誤會題意,真是的。

    2009-11-23 16:25:09 補充:

    001 意見中並非反例,取 a_n = (1/2)^n,

    取 c_n = 2^{[(n-1)/2]}, 其中 [x] 指取 x 的整數部份。

    則 Σ (a_n)(c_n) < 1 + (1/2) + (1/2)^2 + ... = 2 <∞

    但 {c_n} 是 unbounded。

    ===

    關鍵是 unbounded sequence 也可以令 Σ (a_n)(c_n) converges.

    2009-11-24 04:48:53 補充:

    讀明白我證明的內容,應該會發現我的命題與 Folland 的命題說的是同一件事,只是表達方式不一樣而已。即 ℓ^∞ 及 ℓ^1 不是 isomorphic。相異只在怎樣設計題目而已。

    Source(s): 不需要參考任何資料
  • 1 decade ago

    實在利害 被你找到是哪裡的習題

    你的意思是他的習題有誤

    2009-11-08 19:03:16 補充:

    there is 'no'

    2009-11-22 22:58:18 補充:

    還有一點時間 明天早上我會看

    應該來的及

    2009-11-23 16:22:48 補充:

    證明不曉得會不會差很大?!

    2009-11-23 16:23:28 補充:

    來試試看好了....................................

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