Scharze space asked in 科學數學 · 1 decade ago

初等泛函(Dual space)

Give an example of measure space (X,M,m) that is not σ-finite

such that L^∞(X) is not dual space of L^1(X)

我知道一個例子: X={a,b},m(a)=1,m(b)=m(X)=∞

X is not σ-finite 但要如何證明題目所要的結果

請教高高高手了

2 Answers

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  • 1 decade ago
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    直接由定義而來的啊。

    f 只有兩個值 f(a) 及 f(b)。

    ess sup |f|

    = inf{M: m({t: |f(t)| > M) = 0}.

    m({t: |f(t)| > M) = 0 等價於 |f(b)| > M 不真,即 |f(b)| ≤ M。

    故 ess sup |f| = |f(b)|.

    L^∞ 內的元素就是所有在 b 點取不同值的函數,因為兩個函數只要在 b 點的值相同,就是 equal almost everywhere。

    所以,L^∞ 是一維的。

    ===

    要保留回答嗎?有問題先提出吧,作答的話我要整理一下,詳細點。

    2009-10-30 22:53:39 補充:

    修正一下,你的例子是對的,只不過可以更簡單而已。

    不過你的例子就變成 dim(L^1) = 1, 而 dim(L^∞) = 2.

    2009-10-30 23:57:57 補充:

    雖然可以用你的例子來回答,不過用更直接的 trivial 反例即可。從例子中很易看出來,當 X 不是 σ-finite 時,integrability 會令 dimension collapse,但 boundedness 卻不會。

    ===

    令 X = {a, b};

    m(空集) = m({a}) = 0;

    m({b}) = m(X) = ∞。

    〔1〕所有 X 上的實函數都為可測的,由於 m({a}) = 0,兩函數是否視為相等(almost everywhere),只取決於它們在 b 點上之值是否相同。

    即 f = g (a.e.) if and only if f(b) = g(b)。

    〔2〕由於 m({b}) = ∞,顯然 L^1(X) = {0}。故 dim(L^1(X)) = 0。

    〔3〕L^∞(X) 包含所有在 X 上的實函數。故 dim(L^∞(X)) = 1。

    【證明】取任意 X 上之實函數 f,我們只關心 f(b) 的值,而由 ess sup 之定義,

    || f ||_∞

    = inf_M {M: m({t: |f(t)| > M}) = 0}

    = inf_M {M: |f(b)| ≤ M}

    = |f(b)| < ∞。

    故 f ∈ L^∞(X)。//

    ===

    〔2〕及〔3〕得出之推論:

    L^1(X) 的對偶空間也是 {0},不可能為 L^∞(X) ≠ {0}。

    2009-10-31 08:47:36 補充:

    inf_M {M: |f(b)| ≤ M}

    = |f(b)|

    ===

    b 是固定的,M 在變動,inf over all M!!

    2009-10-31 08:51:23 補充:

    其實,L^∞ 就是不理會 measure zero set 下的 sup-norm 啊,

    m({a}) = 0, 所以 |f| 的 sup 就直接是 |f(b)| 而已。只不過平時不運出來,大家都知道,今次把它計算給你看而已。

    2009-10-31 08:56:21 補充:

    你提供的例子也很簡單,只是 trivial case 已經是反例。

    在你的例子中,L^1(X) = {f : f(b) = 0 的函數}

    而 L^∞(X) = {所有 X 上的實函數}。而 ||f||_∞ = max { |f(a)|, |f(b)| }.

    Source(s): 不需要參考任何資料
  • 1 decade ago

    如何看出L^∞是一維的?

    2009-10-30 22:11:15 補充:

    好吧 有空再貼上去吧

    2009-10-31 09:21:03 補充:

    嗯 收穫良多

    可能有點懶 呵呵

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