Copestone asked in 科學數學 · 1 decade ago

〔線性代數〕有限維空間上 T^15 = I 的算子

令 V 為分佈於域 Q〔即有理數集〕上之有限維向量空間〔設維度為 n好了〕。假設有一 V 上之線性算子,滿足:

〔1〕T^15 = I 〔I 為 identity map on V〕;

〔2〕T^3 及 T^5 都沒有非零定點〔即 1 不是 T^3 或 T^5 的特徵值〕。

證明 n ≡ 0 (mod 8)。

2 Answers

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  • 1 decade ago
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    看看有沒有問題~

    令Q=有理數 C=複數

    假設V不是零空間

    現在有T^15-I=0

    先把x^15 - 1分解為cyclotomic polynomials

    [remark: cyclotomic polynomials are irreducible over Q]

    x^15 - 1 =Φ_1(x) Φ_3(x) Φ_5(x) Φ_15(x)

    =(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)

    因為T^3-I=0 and T^5-I=0,

    所以(x-1), (x^2+x+1), (x^4+x^3+x^2+x+1)代入T都不會是0,

    所以m(x):=(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)是T的minimal polynomial

    [remark: m(x)在C裡有八個相異根,

    i.e., m(x)=(x-w1)......(x-w8)]

    令f(x) in Q[x]為T的characteristic polynomial

    把m(x)和f(x)在複數裡面看的話

    m(x)的八個相異複數根就是T的eigenvalue 

    也恰好是f(x)的複數根(只是在f(x)的degree可能比較高而已)

    f(x)沒有其他的複數根了

    但是問題是f(x)∈Q[x]

    而且這八個根互為conjugate with irreducible polynomial m(x) in Q[x]

    所以f(x)=(m(x))^r in Q[x]

    所以 n = deg f = r * (deg m) = r* 8 (是8的倍數)

    2009-10-12 09:03:50 補充:

    "因為T^3-I=0 and T^5-I=0" 打錯

    改成 "因為T^3-I≠0 and T^5-I≠0"

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  • 1 decade ago

    請忽略評價中〔1〕,亂說的!

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