Giải một số phương trình?

Question

Tìm nghiệm nguyên dương của phưong trình:

5a^2 + 3b^2 = 23

2^x + 1 = y^2

x^2 + y^2 + xyz = 20

Nghiệm nguyên : (x + 2)^4 - x^4 = y^3

Nghiệm nguyên tố của PT : x^y + 1 = z

Answer 1

Favorite Answer

1/

5a^2 + 3b^2 = 23 --> a^2 <= 23/5 <= 4 do a^2 nguyên --> a^2 = 0 hoặc 1 hoặc 4

a^2 = 0 --> b^2 = 23/3 không thỏa

a^2 = 1 --> b^2 = 6 không thỏa

a^2 = 4 --> b^2 = 1

Kết luận PT có nghiệm nguyên dương là: (a, b) = (2, 1).

2/

2^x + 1 = y^2

<=> (y - 1)(y + 1) = 2^x

--> y - 1 và y + 1 lần lược có dạng: 2^m và 2^n, với m, n nguyên dương và mn = x.

--> 2^n - 2^m = (y + 1) - (y - 1) = 2

--> 2^m.[2^(n-m) - 1] = 2

nếu n - m <= 0 thì 2^(n-m) <= 1 --> 2 = 2^m.[2^(n-m) - 1] <= 0, vô lí.

nếu n - m > 1 --> 2^(n-m) > 2 --> 2^(n-m) - 1 > 1--> 2^(n-m) - 1 >= 2, mà từ PT trên thì 2^(n-m) - 1 là ước của 2 --> n - m = 1 --> n = m + 1

--> 2^m.(2^1 - 1) = 2 <=> 2^m = 2 <=> m = 1 --> n = 2

--> y - 1 = 2^m = 2 --> y = 3 --> 2^x = 8 --> x = 3

Vậy (x, y) = (3, 3)

3/ Giả sử x >= 3, y >= 3. Ta có z >= 1 do z nguyên dương

--> x^2 + y^2 + xyz >= 9 + 9 + 3.3 = 27 không thể xảy ra

--> x <= 2, y <= 2

Hai số x, y phải có cùng tính chẵn lẻ, nếu ngược lại trong hai số này có một số chẵn, một số lẻ thì x^2 + y^2 lẻ còn xyz chẵn

--> x^2 + y^2 + xyz lẻ, không thể vì nó bằng 20.

Từ đó suy ra chỉ có thể x = y = 1 --> z = 18,

hoặc x = y = 2 --> z = 3.

Vậy (x, y, z) = (1, 1, 18), (2, 2, 3) là các bộ số thỏa mãn bài Toán.

4/

(x + 2)^2 - x^4 = y^3

<=> 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 = y^3 -->y^3 chia hết cho 8 --> y^3 = 8t^3, t nguyên

--> x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = t^3

<=> x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = (x + 1)^3 + x + 1

= (x + 2)^3 - 3x^2 - 2x - 6 = t^3

Nếu x >= 0 thì (x + 1)^3 < t^3 < (x + 2)^3 --> x + 1 < t < x + 2 không thể xảy ra với t, x nguyên.

Nếu x <= -2 thì

x^3 < t^3 < (x + 1)^3 --> x < t < x + 1, không xảy ra với x, t nguyên.

Như vậy x = -1 --> t = 0 --> y = 0

Vậy (x, y) = (-1, 0) là cặp số nguyên duy nhất thỏa mãn bài Toán.

5/

từ đề bài suy ra y chẵn, ngược lại nếu y lẻ thì x^y + 1 chia hết cho x + 1 --> z chia hết cho x^y + 1 và x + 1 (hai số này bằng nhau khi y = 1 không thỏa) nên z không thể là số nguyên tố.

y chẵn nên y = 2 (do y nguyên tố)

Nếu z chẵn tức z = 2 (vì 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất).

thì x^y + 1 = 2 --> x^y = 1 --> x = 1 hoặc y = 0, không phải là số nguyên tố.

Như vậy z lẻ --> x^y chẵn --> x chẵn

Vì x nguyên tố nên x = 2

Do đó 2^2 + 1 = z --> z = 5 (thỏa mãn)

Vậy (x, y, z) = (2, 2, 5) là bộ số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài.