Fourier Integral & Transform

1.一個函數能否進行Fourier integral and transform的其中一個條件是

"Absolutely integrable" , absolutely integrable指的是什麼?

2.Fourier Integral可否說成Fourier inverse transform?我看兩個數學式似乎根本就一樣

Update:

看了你的式子中的F(w) 再請問一下

F(w)跟C(w)應該一樣吧

為什麼要另外定義一個Functioon F(w)?

2 Answers

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  • 1 decade ago
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    1.一個函數能否進行Fourier integral and transform的其中一個條件是"Absolutely integrable" , absolutely integrable指的是什麼?

    Ans:

    一個函數要存在Fourier integral and transform的充分條件為f(x)要"Absolutely integrable"(絕對可積分)

    即為∫(-oo->oo)|f(x)|dx要存在,

    若不滿足,則不存在Fourier integral and transform.

    ex:

    f(x)=exp(x)

    那f(x)=exp(x)是否存在Fourier integral and transform?

    _∫(-oo->oo)|exp(x)|dx

    =∫(-oo->oo) exp(x) dx

    =exp(x)|(-oo->oo)

    =0-exp(oo)

    =oo(不存在)

    故f(x)不存在Fourier integral and transform.

    =====================================================

    2.Fourier Integral可否說成Fourier inverse transform?我看兩個數學式似乎根本就一樣

    Ans:

    Fourier Integral:

    f(x)=∫(-oo->oo)C(w)exp(iwx)dw

    C(w)=(1/2pi)∫(-oo->oo)f(x)exp(-iwx)dx

    Fourier transform:

    F{f(x)}=F(w)

    ______=∫(-oo->oo)f(x)exp(-iwx)dx

    invF{f(w)}=f(x)

    ________=(1/2pi)∫(-oo->oo)F(w)exp(iwx)dw

    從數學式子來看Fourier Integral和Fourier transform兩者只有差在

    (1/pi)的位置,其他別無異處,從純數學的觀點兩者是一樣的,

    但是從物理的觀點是有差別的;Fourier Integral在物理意義為某依個函數可以利用無窮多個正餘弦諧波所組成;

    Fourier transform是把時域的物理問題轉換到頻域去解決,解決後再逆轉換回時域.

    兩者之間的關係:

    C(w)=(1/2pi)F{f(x)}=(1/2pi)F(w)

    invF{F(w)}=(1/2pi){f(x)的Fourier Integral}

    2009-04-08 04:10:34 補充:

    我所定義的F(w)和C(w)是大部分工程數學書上的定義,但是富立葉轉換也有其他形式的定義,但是都只是差常數倍而已,如物理數學有些課本定義如下:

    ______F{f(x)} = F(w) = (1/√2)*∫(-oo->oo)f(x)exp(-iwx)dx

    ____invF{F(w)}= f(x)= (1/√2)*∫(-oo->oo)F(w)exp(iwx)dx

    2009-04-08 04:16:08 補充:

    少打了pi,

    應該是

    F{f(x)} = F(w) = (1/√(2pi))*∫(-oo->oo)f(x)exp(-iwx)dx

    ____invF{F(w)}= f(x)= (1/√(2pi))*∫(-oo->oo)F(w)exp(iwx)dx

    Source(s): me
  • 德馨
    Lv 6
    1 decade ago

    在說明Fourier Integral與Fourier Transform的不同之前

    先回想一下大一微積分

    微積分是由 1微分& 2積分& 3微積分基本定理所組成的

    微分有人稱為微分法(表示微分可視為一種運算)

    積分有人稱為積分法(表示積分可視為一種運算)

    而微積分基本定理(它不再是一種運算,而表示是一種定理)

    d/dx[Sf(x)dx]=f(x)

    此定理說明1.它聯係著微分法與積分法2.微分與積分互為反運算

    =======================================

    同樣的

    fourier正轉換有人稱為fourier正轉換法(表示可視為一種運算)

    fourier逆轉換有人稱為fourier逆轉換法(表示可視為一種運算)

    而Fourier Integral卻稱為fourier積分定理(或fourier積分公式)

    就如同微積分基本定理,它不再是一種運算,而表示是一種定理

    此定理說明1.它聯係著fourier正轉換法與fourier逆轉換法

    2.fourier正轉換法與fourier逆轉換法互為反運算

    =======================================

    >Fourier Integral可否說成Fourier inverse transform?我看兩個數學式似乎根本就一樣

    由以上可知

    把Fourier Integral單獨看成Fourier inverse transform 或 Fourier transform都是不洽當的

    應該看成 f(x)=逆轉換[正轉換(f(x))] <-正逆轉換要寫在一起,稱為fourier積分定理

    本來就應有一個公式來聯係著正負轉換

    Fourier Integral扮演著這個陰陽調合的角色

    很多工數書這方面不是寫的很清楚.....因為這裏沒有題目可出,(也就是告訴你這裏對考試而言...不重要)

    當然以上是我個人對Fourier Integral的詮釋

    應該沒有任何書如此寫,所以僅供參考

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