自由人 asked in 科學數學 · 1 decade ago

求解 symmetric homogeneous eq

求解

A_{ij}x_j = 0

其中 A 是個對稱矩陣,i,j 為 index.

x 是未知向量,j 是其 index.

(其中 j index 是有加起來的,即我省略了summation符號)

請證明 x_j 會跟 A 的 minor 成正比。

Update:

sorry, 正確詳細的問題描述應該是

(K - ω^2M) A = 0

其中 K 跟 M 是正定且對稱的矩陣。

為了有non-trivial的解(A),因而行列式 | K - ω^2M| = 0

這樣會有 n 個根 ω_i

在沒有degeneracy的情形下,即 ω_i 沒有重根,

對於每個 ω_i, A_{ji} 會跟矩陣的 minors △_{ji} 成正比。

Update 2:

A_{ji}的意思是當ω=ω_i 時 A 向量的 j 分量。

抱歉剛符號沒說清楚。

Update 3:

由於沒有重根,因而 nullity = 1

再由 rank-nullity theorem 得知 range(A) 的維度是 n-1

然後再由行列式的定義把 det(A) 展開

到這裡我都還能 follow

但最後三行我就看不太懂了,可以麻煩再解說一下嗎?

感謝!

Update 4:

了解!

感謝呀!

Update 5:

By the way, 正確的來說,解應該是會有 n 個向量 x

然後每一個 x 向量應該是跟某一個row展開的 cofactor 向量成正比?

因為 minor 有些會差一個負號, right?

Update 6:

第二句我再確認一下,

每一個eigenvalue代進去可以解出一個eigenvector, 就是向量 x

這個向量 x 會跟 n 個 row 之中其中一個 row 展開的cofactors所形成的向量成正比。

也就是說,給定一個 eigenvalue,我的eigenvector, x 會跟 n 個 cofactor 形成的向量成正比,right?

Update 7:

第三句是說因為 A_ji = (-1)^{i+j} A'_ij

其中有 prime 的是 minors,沒 prime 的是 cofactors

所以精確的來講,應該是 eigenvector, x 會跟 cofactors 所形成的向量 (A_i1,A_i2,...,A_in) 成正比,而且這樣的cofactor向量有 n 個

(可以用第一個row展開也可以用其他row展開)

am I right? thanks!

Update 8:

哎呀呀,我又有點疑惑了,因為 Ax = 0 寫開應該是

a(i,1)x_1 + a(i,2)x_2 + ... + a(i,n)x_n = 0 "for all i"

但是行列式的展開中

a(i,1)A_i1+a(i,2)A_i2+...+a(i,n)A_in = 0 雖然也是 for all i

但當 i 值跳動的時候 cofactors, A_i1, A_i2...也跟著變

這樣還可以說 x 向量跟 A_i 向量成正比嗎?

Update 9:

ohoh, 你意思是說,只有某一row展開的cofactors會跟 x 向量成比例

其他row展開的cofactors很可能都是0?

所以給定一個eigenvalue,對應到的 x 向量(eigenvector)只會跟某特定行展開的cofactor向量成比例囉?

thanks!

BTW, 我是念物理的

1 Answer

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  • 1 decade ago
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    nuility>=2時, 結論就有問題了!

    2009-03-21 23:50:43 補充:

    由後敘說明知{x| Ax=0 }的dim = 1 (因eigenvalue有n個且無重根)

    =>Range(A)的dim= n-1 (設A為 nxn方陣)

    =>Row sapce of A 有 n-1個 linearly indep,

    加第n個 row vector =>linear dep.

    設前n-1個 row vectors為linearly indep, 加第n個則為 linear dep.

    設A=[ a(i,j) ], 由行列式定義知

    0 = det(A) = a(n,1)A_n1 + a(n,2)A_n2+ ...+a(n,n)A_nn ---(A)

    即以A之第n個row展開求行列式值

    其中A_n1, A_n2, ..., A_nn 分別為第n個row每個元素相對之minor

    又滿足Ax=0, 之 x 為dim=1之vector space,

    由(A)式知 x //(A_n1, A_n2, ..., A_nn)

    得證

    2009-03-22 00:41:37 補充:

    Ax=0為方程組, 最後一式為

    a(n,1)x1+a(n,2)x2+...+a(n,n)xn=0 與

    a(n,1)A_n1+a(n,2)A_n2+...+a(n,n)A_nn = 0比較

    得 (x1,x2,..,xn)//(A_n1, A_n2, ..., A_nn) (因滿足 Ax=0 之x dim=1,故所有x均成比例)

    2009-03-22 11:18:33 補充:

    最後3句話前兩句是對的, 但第3句何所指?

    2009-03-22 16:19:02 補充:

    很好! 數學系嗎?

    2009-03-22 17:34:23 補充:

    所以必須限定 dim{x | Ax=0 } = 1 啊!

    而且x之各分量的比值, 與"某"列(或行, 因symmetry)各 cofactor的比例

    其他列相對之 cofactor 很可能都是0 !

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