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4 Answers
- 釋塵Lv 71 decade agoFavorite Answer
我用極限的概念來證吧!!
lim(△x→0) (sin(x +△x) –sin x) /△x
= lim(△x→0) [sin x*cos△x + cos x*sin△x –sinx] / △x
= lim(△x→0) [sin x + cos x*sin△x–sinx] / △x
= lim(△x→0) (cos x*sin△x) /△x
= cos x
由此可知sinx微分會變成cosx
用了點羅比達法則,希望你會看得懂!!
2009-03-15 08:27:28 補充：
如同linch大來信所說,小弟的證明有蠻大的瑕疵
請容小弟重新證過!!
我們知道, sin x＜= x ＜= tan x
則 1/sin x ＞= 1/x ＞= 1/tan x
sin x/sinx ＞= sinx /x ＞= sinx/tanx
1＞= sinx /x ＞= cosx
當x趨近於0時,因為lim cos x = 1,lim 1 =1
所以利用夾擠定理可得lim sinx /x = 1
2009-03-15 08:27:41 補充：
lim(h→0) (cosh –1) /h
= lim(h→0) [(cosh –1)(cosh +1)] /[h*(cosh+1)]
= lim(h→0) [(cosh)^2 –1] /[h*(cosh+1)]
= lim(h→0) –(sinh)^2 /[h*(cosh+1)]
= lim(h→0) –(sinh /h)*[sinh/(cosh+1)]
= (-1)*0
=0
2009-03-15 08:27:53 補充：
所以lim_{h->0} ( sin(x+h) - sin x) / h
= lim (sin x cos h + cos x sin h - sin x) / h
= lim [sin x (cos h - 1) + cos x sin h] / h
= sin x [ lim (cos h - 1) / h ] + cos x [ lim sin h / h ]
= sin x * 0 + cos x * 1
= cos x
感謝linch大的指教,小弟獲益不少!!
- 1 decade ago
最佳解答證明雖較完整 但仍有瑕疵:
就是 求sina/a a趨近於0 要考慮 左右極限
(這點老師未必有教.書上未必有寫)
這點導致2009-03-15 08:27:28 補充 的部分 有很多處須改進
- 1 decade ago
f'(a)=limsin(a+h)-sina / h
=lim2cos(a+h/2)*sinh/2 / h 因為sinx-siny=2cos(x+y/2)*sin(x+y/2)
=limcos(a+h/2)*sinh/2 / h/2
=cosa
