sin微分

sinx微分為啥會變cosx

有人可以證明一下嗎

4 Answers

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  • 釋塵
    Lv 7
    1 decade ago
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    我用極限的概念來證吧!!

    lim(△x→0) (sin(x +△x) –sin x) /△x

    = lim(△x→0) [sin x*cos△x + cos x*sin△x –sinx] / △x

    = lim(△x→0) [sin x + cos x*sin△x–sinx] / △x

    = lim(△x→0) (cos x*sin△x) /△x

    = cos x

    由此可知sinx微分會變成cosx

    用了點羅比達法則,希望你會看得懂!!

    2009-03-15 08:27:28 補充:

    如同linch大來信所說,小弟的證明有蠻大的瑕疵

    請容小弟重新證過!!

    我們知道, sin x<= x <= tan x

    則 1/sin x >= 1/x >= 1/tan x

    sin x/sinx >= sinx /x >= sinx/tanx

    1>= sinx /x >= cosx

    當x趨近於0時,因為lim cos x = 1,lim 1 =1

    所以利用夾擠定理可得lim sinx /x = 1

    2009-03-15 08:27:41 補充:

    lim(h→0) (cosh –1) /h

    = lim(h→0) [(cosh –1)(cosh +1)] /[h*(cosh+1)]

    = lim(h→0) [(cosh)^2 –1] /[h*(cosh+1)]

    = lim(h→0) –(sinh)^2 /[h*(cosh+1)]

    = lim(h→0) –(sinh /h)*[sinh/(cosh+1)]

    = (-1)*0

    =0

    2009-03-15 08:27:53 補充:

    所以lim_{h->0} ( sin(x+h) - sin x) / h

    = lim (sin x cos h + cos x sin h - sin x) / h

    = lim [sin x (cos h - 1) + cos x sin h] / h

    = sin x [ lim (cos h - 1) / h ] + cos x [ lim sin h / h ]

    = sin x * 0 + cos x * 1

    = cos x

    感謝linch大的指教,小弟獲益不少!!

  • 1 decade ago

    最佳解答證明雖較完整 但仍有瑕疵:

    就是 求sina/a a趨近於0 要考慮 左右極限

    (這點老師未必有教.書上未必有寫)

    這點導致2009-03-15 08:27:28 補充 的部分 有很多處須改進

  • 1 decade ago

    f'(a)=limsin(a+h)-sina / h

    =lim2cos(a+h/2)*sinh/2 / h 因為sinx-siny=2cos(x+y/2)*sin(x+y/2)

    =limcos(a+h/2)*sinh/2 / h/2

    =cosa

  • jesus
    Lv 6
    1 decade ago

    從微分的定義去看

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