Challenging effective mass

It is known that the effective mass of the spring in this system is 1/3 of the mass of the spring

圖片參考:http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpa...

and it is no effective mass of the spring in this system

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So, what is the effective mass of the spring in these systems? Explain in detail.

(a)

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(b)

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(c)

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3 Answers

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  • 1 decade ago
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    自由人's intuition is totally right!

    我不太曉得版大是從哪看到說水平方向彈簧的 effective mass 是 0 ? 事實上最簡單的情況下考慮,不管是水平還是垂直,effective mass 都是 1/3。

    我不打算在這邊寫下推導過程,因為在這裡打數學方程式是蠻痛苦的一件事... 不過我會給出簡單的 arguement,及一些參考資料。

    1) 維基百科中垂直方向的證明方法是有效的,也是大部分教科書上寫的;但請注意一下,推導過程中根本沒有涉及重力,方程式中的 m 是在動能項中出現 ( 1/2 mv2 ),也就是說它代表的是儲存動能的 "慣性",而不是重力。所以這個推導也該適用於沒有重力影響 ( 水平 ) 的情況。

    2) 再換個 arguement:

    所謂 effective mass,其實主要指對週期的影響。

    例如在 spring mass = 0 的理想情況,週期 T2 = 4 pi2 ( M / k )

    加入 effective mass 的修正,週期 T2 = 4 pi2 ( M + meff / k )

    從週期公式可看到,T 跟重力加速度 g 值的大小無關! 也就是說此彈簧不管在地球上、月球上、還是太空中,其週期都是一樣的;而理想中水平情況等效於無重力。

    當然並不是說重力全無影響,例如只要想一下就知道,彈簧垂直時會被稍為拉長,也就是說原點 ( 平衡的位置 ) 位移了。在簡單的情況下,這位移量相當於一個理想的 massless spring,但下面除了原物體 M 以外,還多掛了 1/2 m 的重量。

    ────────────────────────────────

    Effective mass = 1/3 是最簡單的情形,它有用到一個假定,就 m << M;通常力學教科書多寫到這裡為止。而一些 advanced 一點的則會討論到額外的修正。

    一般來講,會作出此修正的,有兩種情況:

    (1) m >> M

    (2) 彈簧不是硬的,而是軟的。也就是說彈簧下端因不用承受本身的重量,而上端卻要,所以彈簧上下端受力不同,拉長量也不再是普通線性,而是會像下圖一樣:

    圖片參考:http://link.photo.pchome.com.tw/s08/cheongsou/2/12...

    (1) 及 (2) 看似兩種不同的情況,實質上卻是相通的。例如 (2) 的情況中,若懸掛的重物 M >> m,則彈簧的上 / 下端不均勻情況就變得可忽略。

    而在 m >> M 的情形下,此時 effective mass 會趨向 4 / pi2 = 0.405...

    圖片參考:http://link.photo.pchome.com.tw/s08/cheongsou/2/12...

    關於這個,可參考 [2] 的論文,裡面有詳細的推導。而 [3] 則主要討論軟彈簧的情形,文章比較簡單,可讀性比[2]高。

    [1] M = hanging mass , m = spring mass

    [2] "The Effective Mass of an Oscillating Spring" Amer. J. Phys., 38, 98 (1970)

    [3] "Effective Mass of an Oscillating Spring" The Physics Teacher, 45, 100 (2007)

    PS.

    自由人大大不必驚訝 Wiki 也是這樣寫,因為.... 那條目就是版大所寫的!So,我想版大該條改一下內容了;而且我認為 m >> M 的情形也很基本,或許維基中也該列入。至於原本連結的兩篇日本論文,所討論的elastic after-effect,則是另外的效應,基本上我沒看過其他地方有討論過 ( 那兩篇文章好像也沒甚麼人 cite 的樣子...) 。

    2009-03-27 16:53:35 補充:

    忽然想到:

    彈簧的週期與 g 無關,與 M 有關。

    單擺的週期與 M 無關,與 g 有關。

    兩者都是 SHO,但完全相反,蠻有趣的...

    2009-03-27 17:04:02 補充:

    對比兩個長得幾乎一樣的公式,得出:

    單擺 vs 彈簧

    L ~= M

    g ~= k

    "~=" 是相當於的意思。

    單擺是動能 ( M, V ) 與重力位能間的轉換( L, g )。

    彈簧則是動能 ( M, V ) 與彈性位能間的轉換( M, k )。

    嗯.... 物理果然好像蠻有道理的樣子....

    Source(s): ”The Effective Mass of an Oscillating Spring” Amer. J. Phys., 38, 98 (1970)
  • 1 decade ago

    我之所以說水平方向彈簧的effective mass是0,是因為那時中學的高考物理科老師說的(彈簧與質量系統是屬於高考課程範圍之內)。

    計算起來,我在2005年開始讀中六(中六是高考課程第一年),而中六的時候物理科老師就教我彈簧與質量系統。即是說,我足足被那位高考物理科老師誤導了接近3年半!!!

  • 1 decade ago

    如果假設彈簧上離固定端 x 的點,其運動速度 v(x) 會跟 x 成正比,那可以積分出彈簧動能為 mv^2/ 6 ,其中 v 是木塊的速度,m是彈簧質量。如此一來可以把彈簧有效質量當作 m/3.

    但這論點對其他系統我不太理解為什麼不能用?例如水平彈簧系統的彈簧有效質量是0?這令我有點驚訝,而我剛發現維基百科竟然給出一樣的結論。

    我的想法是以上的所有系統應該彈簧有效質量都是 m/3. (暫時的猜測),大家可以多討論。

    2009-03-15 13:15:09 補充:

    In the case of horizontal spring-mass system, though the direction of gravity is perpendicular to the motion of the massive spring, the mass of the spring do play a role in influencing the motion of the system, isn't it?

    2009-03-15 13:15:36 補充:

    So, my intuitive notion is that the effective mass of the horizontal spring-mass system cannot be zero.

    2009-03-28 23:48:39 補充:

    感謝Kaworuweb的認真,也高興答案更明朗了。

    而物理有趣的地方常常是看似不同的現象卻有一樣的道理~

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