lian
Lv 7
lian asked in 科學數學 · 1 decade ago

0<1 証明pq+qr+rp-2pqr<1

如題

p, q, r為滿足 0<p,q,r<1 之實數

証明pq+qr+rp-2pqr<1

Update:

原來如此

可以再請問一下...若是用幾何模型來想像可以嗎?

*

重新考慮不等式:

1pq+1qr+1rp-2pqr<1

在x, y,z座標系統中取

1X1X1 所形成之正方體體積

1XpXq 所成之長方體體積

...類推

最後由幾何模型說明 是否可以?

Update 2:

原來如此

把線性函數引進不等式真是漂亮的想法

幾何模型的圖也很清楚 thx

3 Answers

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  • 1 decade ago
    Favorite Answer

    証法1:考慮一次函數f (x) = (p + r- 2pr)x + rp - 1

    f (0) = rp - 1 < 0 (∵ 0 < r < 1, 0 < p < 1)

    f (1) = p + r - 2pr + rp - 1 = p + r - rp - 1

    = (1 - r) (p - 1) < 0 (∵ 0 < r < 1, 0 < p < 1)

    又f (x)為線性函數且0 < q < 1

    ∴f (q)介於f (0)與f (1)之間,即f (q) < 0

    f(q) = pq + qr + rp – 2pqr – 1 < 0

    故得證 pq + qr + rp – 2pqr < 1 (以下為圖形說明:)

    圖片參考:http://i286.photobucket.com/albums/ll87/hermittion...

    証法2:

    ∵ 0 < r < 1, 0 < p < 1, 0 < q < 1,

    ∴ r > 0, p – 1 < 0, q – 1 < 0, 1 – r > 0, pq – 1 < 0

    ∴–r (p – 1)(q – 1) < 0, (1 – r)(pq – 1) < 0

    pq + qr + rp – 2pqr – 1

    = qr + rp – pqr – r + pq – pqr – 1 + r

    = r(q + p – pq – 1) + pq(1 – r) – (1 – r)

    = – r(pq – q – p + 1) + (1 – r)(pq – 1)

    = – r(p – 1)(q – 1) + (1 – r)(pq – 1) < 0 ,

    得證 pq + qr + rp – 2pqr < 1

    2009-02-10 13:04:57 補充:

    可以再請問一下...若是用幾何模型來想像可以嗎?

    *

    重新考慮不等式:

    1pq+1qr+1rp-2pqr<1

    在x, y,z座標系統中取

    1X1X1 所形成之正方體體積

    1XpXq 所成之長方體體積

    ...類推

    最後由幾何模型說明 是否可以?

    答:可以!!

    圖形說明請見

    參考資料欄:http://i286.photobucket.com/albums/ll87/hermittion...

    2009-02-10 13:05:53 補充:

    小弟在大師面前班門弄斧,真是讓您見笑啦

    2009-02-10 15:34:00 補充:

    關於証法1,在微積分的微分應用單元(均值定理)常會用到這樣的技巧

  • 費瑪
    Lv 4
    1 decade ago

    請參考

    http://www.math.ncu.edu.tw/resource/teach/chen/fil...

    這也不一定建中的[曾強]先想出的

    第一個想出[證法一]的人的確很強

    樓主的幾何模型想法很有意思

    也是可行的

    先在正方體(1*1*1)中畫一個長方體(p*q*r)(以下*省略)

    此不等式等價於1-(pq+qr+rp-2pqr) > 0

    相當於把正立方體(111)中的三個互相垂直的柱體的聯集(pq1+qr1+rp1-2pqr)挖掉還有剩兩塊立體

    一為L型的柱體 (1-pq)(1-r)

    一為長方體 r(1-p)(1-q)

  • 1 decade ago

    To: 書

    直呼您稱謂,好像都在佔便宜一樣!

    最上面的證法非常好!

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