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0<1 証明pq+qr+rp-2pqr<1
如題
p, q, r為滿足 0<p,q,r<1 之實數
証明pq+qr+rp-2pqr<1
原來如此
可以再請問一下...若是用幾何模型來想像可以嗎?
*
重新考慮不等式:
1pq+1qr+1rp-2pqr<1
在x, y,z座標系統中取
1X1X1 所形成之正方體體積
1XpXq 所成之長方體體積
...類推
最後由幾何模型說明 是否可以?
原來如此
把線性函數引進不等式真是漂亮的想法
幾何模型的圖也很清楚 thx
3 Answers
- ¥¿¶i ¦Lv 71 decade agoFavorite Answer
証法1:考慮一次函數f (x) = (p + r- 2pr)x + rp - 1
f (0) = rp - 1 < 0 (∵ 0 < r < 1, 0 < p < 1)
f (1) = p + r - 2pr + rp - 1 = p + r - rp - 1
= (1 - r) (p - 1) < 0 (∵ 0 < r < 1, 0 < p < 1)
又f (x)為線性函數且0 < q < 1
∴f (q)介於f (0)與f (1)之間，即f (q) < 0
f(q) = pq + qr + rp – 2pqr – 1 < 0
故得證 pq + qr + rp – 2pqr < 1 (以下為圖形說明:)
圖片參考：http://i286.photobucket.com/albums/ll87/hermittion...
証法2:
∵ 0 < r < 1, 0 < p < 1, 0 < q < 1,
∴ r > 0, p – 1 < 0, q – 1 < 0, 1 – r > 0, pq – 1 < 0
∴–r (p – 1)(q – 1) < 0, (1 – r)(pq – 1) < 0
pq + qr + rp – 2pqr – 1
= qr + rp – pqr – r + pq – pqr – 1 + r
= r(q + p – pq – 1) + pq(1 – r) – (1 – r)
= – r(pq – q – p + 1) + (1 – r)(pq – 1)
= – r(p – 1)(q – 1) + (1 – r)(pq – 1) < 0 ,
得證 pq + qr + rp – 2pqr < 1
2009-02-10 13:04:57 補充：
可以再請問一下...若是用幾何模型來想像可以嗎?
*
重新考慮不等式:
1pq+1qr+1rp-2pqr<1
在x, y,z座標系統中取
1X1X1 所形成之正方體體積
1XpXq 所成之長方體體積
...類推
最後由幾何模型說明 是否可以?
答:可以!!
圖形說明請見
參考資料欄:http://i286.photobucket.com/albums/ll87/hermittion...
2009-02-10 13:05:53 補充：
小弟在大師面前班門弄斧,真是讓您見笑啦
2009-02-10 15:34:00 補充：
關於証法1,在微積分的微分應用單元(均值定理)常會用到這樣的技巧
- 費瑪Lv 41 decade ago
請參考
http://www.math.ncu.edu.tw/resource/teach/chen/fil...
這也不一定建中的[曾強]先想出的
第一個想出[證法一]的人的確很強
樓主的幾何模型想法很有意思
也是可行的
先在正方體(1*1*1)中畫一個長方體(p*q*r)(以下*省略)
此不等式等價於1-(pq+qr+rp-2pqr) > 0
相當於把正立方體(111)中的三個互相垂直的柱體的聯集(pq1+qr1+rp1-2pqr)挖掉還有剩兩塊立體
一為L型的柱體 (1-pq)(1-r)
一為長方體 r(1-p)(1-q)
