複變下的L'Hospital rule(0/0)要如何證

(0/0)-form of L'Hospital rule for complex differentiable functions

hint : use f differentiable at z is deined as

f(z+△z) - f(z) = [f'(z) +ε]△z ,where lim(△z->0) ε= 0:

pf(粗略寫一下我目前的狀況)

|f/g - f'/g'|

=< |f/g - (f'+ε_1)/(g'+ε_2)| + |(f'+ε_1)/(g'+ε_2) - f'/g'|

= (1) + (2)

(2) = |(f'+ε_1)/(g'+ε_2) - f'/g'|

= | [g'(f'+ε_1)-f'(g'+ε_2)] / [g'(g'+ε_2)] |

= | [g'*ε_1 - f'*ε_2] / [g'(g'+ε_2)] | -> 0 as △z->0

(1) = |f/g - (f'+ε_1)/(g'+ε_2)| = .....證不出來=.=

3 Answers

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    Lv 5
    1 decade ago
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    讓我幫幫你吧!!

    複變下的L'Hospital rule要如何證 ?

    sol:

    茲取 f(z) 、 g(z) 在 z = a 為 analytic piont,且 f(a) = g(a) = 0

    以及 g'(a) != 0 <==不等於0

    這個證明很簡單,直接計算便可:

       f(z)      f(z) /( z - a )     f(z) - f(a) /( z - a )

    lim ─── = lim ─────── = lim ────────

    z->a g(z)  z->a  g(z) /( z - a )  z->a g(z)- g(a) /( z - a )

      f'(a)

    = ───

      g'(a) ....................................................................得證#####

    不懂在問吧!!

    2009-02-09 05:28:43 補充:

    很難對齊....應該看的董吧-.-

    2009-02-22 18:18:59 補充:

    都正出來了 你還要投票...

    投票就算了,還選無解答.....以後誰還會幫你。

    2009-02-23 16:48:09 補充:

    意見者: 獅子王 ( 初學者 3 級 )

    我用微積分,微分的定義了,還有比這個更正式的嗎...

    "ε及△那種正式的證明",這個過程跟為分的定義就是同一件事

    情。

    一般不是都稱作:△-εprocess

    2009-02-23 16:51:17 補充:

    題目的這個提示:

    f(z+△z) - f(z) = [f'(z) +ε]△z ,where lim(△z->0) ε= 0:

    除過去,不就變為分了...有差媽-.-

    就算如此,開版大大也沒題問,這樣對嗎?

    2009-02-23 22:46:45 補充:

    f(z+△z) - f(z) = [f'(z) +ε]△z ,where lim(△z->0) ε= 0:

    上式,題目給的提示。

    我幫你翻譯,跟整理如下:

    (△z->0) 就是說△z≠0 ( 只是無限靠近0 ),因為△z≠0

    所以我兩邊同除 △z 我不管你數學不數學,都一定對。

    會變成下式:

     [ f(z+△z) - f(z) ] / △z = f'(z) +ε ,where lim(△z->0) ε= 0:

    最後的 lim(△z->0) ε= 0 就是指△-εprocess的過程。

    他講的是都練的關係,普普通通的微積分就有了。

    沒在甚麼站不站的住腳。

    2009-02-27 23:09:25 補充:

    若 f 在 x->c 極限存在, lim(x->c) f(x) = f(c)

    lim(x->c) f'(x) \ g'(x)

    你能寫下上式,就代表 f、g 可以微分,才會寫成 f'(x) 、 g'(x)

    那 lim(x->c) f(x) \ g(x) = lim(x->c) f'(x) \ g'(x) = f'(c) \ g'(c)

    這有什麼問題。

    有錯舉個反例,對的要證明已經在上面。

    看到式子不一樣就提出來,不是胡亂說一通。

    2009-02-27 23:11:13 補充:

    你先去想想 幹麻要有微分 ,微分在幹麻

    弄不懂就說這些,似乎太早了。

    2009-02-28 00:50:12 補充:

    但不表示 lim(x->c) f'(x) \ g'(x) = f'(c) \ g'(c)

    因為f 跟g的導數不一定是在c點連續

    如果你在的函數的不連續點取極限,你根本就是極限不存在的答案。

    如下:

    lim(x->c) f'(x) \ g'(x) = f'(c) \ g'(c).....表示f'(c)、g'(c)在C連續

    lim(x->c) f'(x) \ g'(x) = 極限不存在....表示至少一個不連續

    2009-02-28 00:52:48 補充:

    你要討論極限,卻跟我說那個點會不連續。當然可以

    只是你在用這個定理,你會用在根本無法使用此定理的地方用嗎?

    我不會跟你生氣,我教數學的,只是想跟你說,你讀定義、定理...你可以體會他幹麻要這樣或是什麼情況才可用。

    會比你死板版的讀好很多,我只是提供我一路過來的經驗。

    2009-02-28 00:53:35 補充:

    就說到這,總之你短期還不會懂我說的東西。說不定你以後有機會遇到我-.-

    2009-02-28 00:56:24 補充:

       f(z)      f(z) /( z - a )     f(z) - f(a) /( z - a )

    lim ─── = lim ─────── = lim ────────

    z->a g(z)  z->a  g(z) /( z - a )  z->a g(z)- g(a) /( z - a )

      f'(a)

    = ───

      g'(a)

    難道一定要這樣寫你才會看的清楚媽,如下:

    2009-02-28 00:58:08 補充:

       f(z)      f(z) /( z - a )     f(z) - f(a) /( z - a )

    lim ─── = lim ─────── = lim ────────

    z->a g(z)  z->a  g(z) /( z - a )  z->a g(z)- g(a) /( z - a )

       f'(z)  

    lim ─── 如果極限都存在才可以 = f'(c) \ g'(c)

    z->a g'(z)  

    2009-02-28 00:59:07 補充:

    一定要多這行字嗎...這樣加上去 跟你說的東西就完完全全一模一樣了...自己想想 這不是為分定義那邊沒搞懂才會問的東西嗎

    Source(s):
  • 原本我是想說時間到了,問題會自動移除

    沒想到交付投票。

    我應該出面解釋一下,不好意思,冷落g大一陣子

    如果有仔細看一下L'Hospital rule不論是高微or初微

    定理最後出來的結果是

    lim(x->c) f(x) \ g(x) = lim(x->c) f'(x) \ g'(x)

    而不是

    lim(x->c) f(x) \ g(x) = f'(c) \ g'(c)

    這題我已經有想法,只是還沒寫下

    2009-02-28 00:00:05 補充:

    如果f跟g在c點可微,那下式確實會對

    lim(x->c) f(x) \ g(x) = f'(c) \ g'(c)

    但不表示 lim(x->c) f'(x) \ g'(x) = f'(c) \ g'(c)

    因為f 跟g的導數不一定是在c點連續

    甚至有些書籍討論L'Hospital rule

    都不考慮在c點可微,只考慮c點的附近可微

    如果照你這樣的證明,

    那一般證明L'Hospital rule(0/0)的書籍何必寫的一大串

    2009-02-28 00:00:19 補充:

    我不會在這多打字了

    因為,我相信你一定不會仔細看微積分的

    L'Hospital rule定理敘述and證明(根據你目前的情緒)

  • 1 decade ago

    應該是發問者想要ε及△那種正式的證明

    2009-02-23 19:15:15 補充:

    我指的是epsilon-delta,因為我這電腦我也不知道符號要去哪生出來所以就說的不清不楚.光是微積分的定義在數學裡是站不住腳的,G大您可能要去研究一下高等微積分裡的定義(其實有的理科微積分的書就有了),但是到底版大是要什麼應該只有他知道我也只是過路而已。

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