小m asked in 科學數學 · 1 decade ago

高微問題~20點關於 local maximizer

Find necessary and sufficient condition for a 2X2 symmetric matrix to be negative definite. Use this information to state and prove a sufficient condition for a point to be a local maximizer for a function of two variables

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  • linch
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    1 decade ago
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    2X2 symmetric matrix to be negative definite.

    所有的 eigenvalue 要小於零。若A為2X2symmetric matrix 則若A為

    a b

    b c

    由特徵方程式知道 (a-λ)(c-λ) - b^2 = 0 ==> λ^2 - (a+c)λ + (ac- b^2) = 0

    因為所有的 eigenvalue 要小於零,所以兩根和小於零,兩根積大於零,若且為若 a + c < 0, ac - b^2 > 0。

    即可得到若一個 2X2 symmetric matrix 是負定的充分必要條件為

    Det A > 0 且 Trace A < 0。(若 Det A > 0 已經成立,則 a, c 必為同號,因此可將上面條 件改為 Det A > 0, a < 0 即可)

    接下來證明第二部分

    假設f 在 (a,b) 附近是二次可微且連續( C2 ),若 fx(a,b) = fy(a,b) = 0 且 fxx(a,b) fyy(a,b) - fxy(a,b)2 > 0,fxx(a,b) < 0。則函數 f 在 (a,b) 處有相對極大值。

    因為函數在 (a,b) 附近是二次可微,當( x, y) 靠近 (a, b) 時可以將 f 在 (a,b) 點處展成二階 Taylor 多項式,

    f(x,y) = f(a,b) + <fx(a,b), fy(a,b)> < x-a, y-b> + (1/2!) < x-a, y-b> M < x-a, y-b>t 這裡的 M 是

    fxx(c,d), fxy(c,d)

    fyx(c,d), fyy(c,d)

    其中 c 在 x 與 a 之間,d 在 y 與 b 之間,由於 f 是 C2 ,因此fxy(c,d)=fyx(c,d),所以 M 是一個symmetric matrix。

    因此上式可以寫成

    f(x,y) = f(a,b) + fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b) + (1/2!) < x-a, y-b> M < x-a, y-b>t

    = f(a,b) + (1/2!) < x-a, y-b> M < x-a, y-b>t ( fx(a,b) = fy(a,b) = 0 )

    再由 f 是 C2 (fxx , fxy , fyy 都是連續的),所以當 (c,d) 靠近 (a,b) 時,fxx(c,d), fyy(c,d), fxy(c,d) 的正負符號會與 fxx(a,b), fyy(a,b), fxy(a,b) 一致。

    因此由 fxx(a,b) fyy(a,b) - fxy(a,b)2 > 0,fxx(a,b) < 0,得知 M 為 negative definite。由 M 為 negative definite 得知 < x-a, y-b> M < x-a, y-b>t < 0 ,所以

    f(x,y) = f(a,b) + (1/2!) < x-a, y-b> M < x-a, y-b>t < f(a,b)

    也就是說在 (a,b) 附近的 (x,y),f(x,y) < f(a,b),即 f(a,b) 是相對極大值。

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