gogogo asked in 科學數學 · 1 decade ago

有關normal與self-adjoint的線代問題

Let V=P_2 and T is defined by T(f)=f' ,

where <f,g>=\int_{0}^{1}f(t)g(t).

Determine whether T is normal, self-adjoint or neither.

Update:

第二行的最後面忘記打 dt

Update 2:

如果在矩陣裡面

A*的意思是將A矩陣轉置之後加bar

而在線性算子結合內積中

我們定義<T* (f) , g >=< f ,T(g)>

3 Answers

Rating
  • 1 decade ago
    Favorite Answer

    normal, self-adjoint 與內積有關嗎?

    2008-12-16 23:15:40 補充:

    取basis { 1, x, x^2}

    將T(f)=f'改以矩陣A表示, A=

    [0 1 0]

    [0 0 2]

    [0 0 0]

    在用矩陣之normal (A^t*A=A*A^t)與 self adj. (A^t=A)檢驗之

    結果: 不是normal ,也不是 self-adjoint

    2008-12-17 00:25:09 補充:

    請問T*(f)怎定義呢?

    2008-12-17 02:05:37 補充:

    T*(f)=∫[0,x] f(t) dt

    1.(1) = 又 = ,

    (2) 設f(x)=x => =∫[0,1] 1*1 dt=1

    而T*(f)=∫[0,x] tdt= x^2/2 => =∫[0,1] (t^2/2)*(t^2/2) dt= 1/20

    故 ≠ => T*T ≠ TT* => 非normal

    2008-12-17 02:08:39 補充:

    設f(x)=x, g(x)=1

    =< 1, 1>= 1, = = 1/6

    => ≠ =>not self adj.

    Source(s): me
  • 小魚
    Lv 6
    1 decade ago

    <Tf , g > = f*g[0,1] - < f , Tg >

    若 f*g[0,1] = 0 , 則 < Tf , g > = - < f , Tg > ,

    顯然不是 self-adjoint

  • 1 decade ago

    應該算是個變形的題目吧!

    比如說normal的定義是 T=T*

    那如果有個內積証出來是 < Tf , g > = < T*f , g >

    那就表示 T=T* 也就是說 T 是normal的囉! ^ ^

    希望有幫助你思考如何幫我解題

    因為我都解到一半卡住 >

    2008-12-16 21:06:40 補充:

    可以請問一下...

    第一行的中括號是什麼意思嗎?

    而且第二行的f*g是可以任意決定的嗎?

    2008-12-16 23:38:06 補充:

    煩惱即是菩提大師

    小的我有一個疑問

    在你的解題過程中沒有用到本題內積的定義說...

    降子好像不太完整>

Still have questions? Get your answers by asking now.