Jerry asked in 科學數學 · 1 decade ago

一些直線和平面的數學問題

題目如下

1.L為過A(3,0,2),B(3,-1,3)的直線,

E為平面x+2y-z-2=0,求L與E的夾角

2.求L: (x+1)/2=(y+6)/-2=(z-8)/-1

與E: 4x-y+z+3的夾角

3.設A(1,5,1),B(2,3,1),C(3,2,2)

求三角形ABC在平面E: x-y-2z-8=0上的正射影的面積

需有計算過程...

謝謝哩

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  • 1 decade ago
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    1.L為過A(3,0,2),B(3,-1,3)的直線,E為平面x 2y-z-2=0,求L與E的夾角.

    sol:

    vector(AtoB)=[0,-1,1]

    vector(E的法線)=[1,2,-1]

    norm{vector(AtoB)}=根號(1^2 1^2)=根號(2)

    norm{vector(E的法線)}=根號(1^2 2^2 1^2)=根號(6)

    vector(AtoB).vector(E的法線)=[1,2,-1].[0,-1,1] = -3

    cos(r)={vector(AtoB).vector(E的法線)}/{norm{vector(AtoB)}*norm{vector(E的法線)}}

    ____=(-3)/[根號(2)*根號(6)]

    故 r = arccos{(-3)/[根號(2)*根號(6)]}=150度

    所求夾角=150度-90度 = 60度.

    ======================================================

    2.求L: [(x 1)/2]=[(y 6)/-2]=[(z-8)/-1]= t , 與E: 4x-y z 3=0的夾角.

    sol:

    a.先求任意在L上的兩點

    _取 t=0 使得 (x=-1)^(y=-6)^(z=8) ;令點A=(-1,-6,8).

    _取 t=1 使得 (x=1)^(y=-8)^(z=7) ;令點B=(1,-8,7).

    b.如同題1:

    vector(AtoB)=[2,-2,-1]

    vector(E的法線)=[4,-1,1]

    norm{vector(AtoB)}=根號(2^2 2^2 1^2)=根號(9)=3

    norm{vector(E的法線)}=根號(4^2 1^2 1^2)=根號(18)

    vector(AtoB).vector(E的法線)=[2,-2,-1].[4,-1,1] = 9

    cos(r)={vector(AtoB).vector(E的法線)}/{norm{vector(AtoB)}*norm{vector(E的法線)}}

    _____=9/{3*根號(18)}

    故 r = arccos{9/{3*根號(18)}=45度

    所求夾角=90度-45度 = 45度.

    ======================================================

    3.設A(1,5,1),B(2,3,1),C(3,2,2)

    ____求三角形ABC在平面E: x-y-2z-8=0上的正射影的面積.

    sol:

    vector(AtoB)=[1,-2,1]

    vector(AtoC)=[2,-3,1]

    vector(E的法線)=[1,-1,-2]

    vector(AtoB) x vector(AtoC)=[1,-2,1]x[2,-3,1]=det((i,j,k);(1,-2,1);(2,-3,1))=[1,-1,1]

    vector(E的法線).[vector(AtoB) x vector(AtoC)]=[1,-1,-2].[1,-1,1]=0----->(#)

    由(#)式可知三角形ABC所在平面與平面E垂直,

    所以投影量為零,故正射影的面積=0.

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