小邱 asked in 科學數學 · 1 decade ago

線性代數~向量空間的一些專有名詞的問題

我想請問一下各位大大~

Linear Combination

Span

Linearly Dependent / Independent

這三個的意思各是什麼?

他們之間有沒有什麼關係呢?

希望能解釋的很清楚~讓我容易懂一些~謝謝~

如果有一些小例子會更好~^^

還有Basis又是什麼呢?

非常感恩Orz....

2 Answers

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  • 1 decade ago
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    Linear Combination(線性組合)的定義:

    設 V 為一集合且為佈於某一數系(實數系R,或複數係C,或整數係Z,自然數系N,...等等)的"向量空間",S={x1,x2、x3,.....,xn}為包含於V中的有限子集合,但S不一定為"向量空間",

    把S中的所有的"向量元素",分別乘上任一純量c1,c2,c3,...,cn(cn可為實數或複數),在全部相加所得的結果如下:

    _____________c1 x1 c2 x2 c3 x3 ... cn xn ------(#)

    則稱(#)式為集合S中所有元素的"線性組合".

    ======================================================

    Span(生成集合)的定義:

    設 V 為一集合且為佈於某一數系(實數系R,或複數係C,或整數係Z,自然數系N,...等等)的"向量空間",S={x1,x2、x3,.....,xn}為包含於V中的有限子集合,但S不一定為"向量空間",

    把S中所有的元素作"線性組合"(上面有定義)後,所有可能的結果,

    所形成的集合,稱作(生成集合),以符號Span(s)表示之.

    即Span(s)={u| u=c1x1 c2x2 c3x3 ... cnxn 任意cn屬於某數系 }

    ======================================================

    Linearly Dependent / Independent(線性獨立或相關)的定義:

    設 V 為一集合且為佈於某一數系(實數系R,或複數係C,或整數係Z,自然數系N,...等等)的"向量空間",S={x1,x2、x3,.....,xn}為包含於V中的有限子集合,但S不一定為"向量空間",

    把S中所有的元素作"線性組合"(上面有定義)後,用以表示零向量,

    即 ________ 0 = c1 x1 c2 x2 c3 x3 ... cn xn ------(#)

    如果(#)式中的所有係數cn "完全" 等於零(c1=c2=...=cn=0),

    則集合S稱為"線性獨立集合".

    如果(#)式中的所有係數cn "非完全" 等於零(c1=任意 或 c2=任意 或...或cn=任意),

    則集合S稱為"線性相關集合".

    ======================================================

    Basis(基底)的定義;

    設 V為一集合且為佈於某一數系(實數系R,或複數係C,或整數係Z,自然數系N,...等等)的"向量空間",S={x1,x2、x3,.....,xn}為包含於V中的有限子集合,但S不一定為"向量空間",

    如果 "S為線性獨立集合"、"且S的生成集合Span(s)=V(就是生成集合等於向量空間v)",

    則集合S稱為向量空間V的"其中一組"基底. (註:基底不只一組)

    ======================================================

    三者之間的關係:

    "線性組合" 是為了定義 "生成集合" 的次定義,

    而"線性獨立或相關",是為了描述某一集合中的元素,是否可以用"線性組合"互相來表示之.

    而"基底"就是用於描述某一向量空間中任意向量的"最基本元素"

    ,可以當作基底的條件 (1.集合S中所有元素線性獨立)且(2.S的生成集合=V)

    2008-11-02 03:21:14 補充:

    "線性組合式"的加號沒顯示出來

    c1x1 + c2x2 + ... + cnxn -----(#)

    ==================================

    "span(S)"的加號也沒顯示出來

    Span(s)={u| u=c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn 任意cn屬於某數系 }

    ==================================

    "線性獨立或相關"線性獨立或相關的加號也沒顯示

    0 = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn ------(#)

    Source(s):
  • KJ
    Lv 5
    9 years ago

    猛!!! 解釋得很棒!

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