Anonymous
Anonymous asked in 科學數學 · 1 decade ago

請教線代rank與rref在null space下的疑問

(2)The rank of a m*n matrix A can not be zero, the term "full rank" means the rank of A equals m.

[自解]

No!零矩陣無rank,且full rank=min(m,n)，即m,n中取最小值，不一定等於m

(7)Let Rref is the reduced row echelon form of matrix A, then the column space exactly equal to C(Rref) and the same for null space N(A)=N(Rref)

(9)IF rank of A, an m*n matrix, is n, then the nullity(i.e. dimension of null space) is 0.

Update:

7)Let Rref is the reduced row echelon form of matrix A, then the column space C(A) exactly equal to C(Rref) and the same for null space N(A)=N(Rref)

Update 2:

(7)row運算會破壞行關係，列運算不會破壞解的空間，這部分能否麻煩您說明一下？

(9)維度定理我們學校老師還沒教，請問您能否用別的方法說明？感謝！

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(2)The rank of a m*n matrix A can not be zero, the term "full rank" means the rank of A equals m.

[自解]

No!零矩陣無rank,且full rank=min(m,n)，即m,n中取最小值，不一定等於m

基本上都是正確的,但零矩陣我們一般說rank=0不會說無rank

(任何矩陣都有rank,我想你懂)

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那想請問以下兩題是對的還是錯的？又該怎麼解釋呢？我不會寫

(7)Let Rref is the reduced row echelon form of matrix A, then the column space exactly equal to C(Rref) and the same for null space N(A)=N(Rref)

有問題,你指的the column space是of A?(我假設你是此意) 舉一例以下為2*2的矩陣

|1,0| Rref => |1,0|

|1,0| |0,0|

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但the column space是of A為,但 C(Rref)為,

{(x)} {(x)}

{(x)} {(0)}

二者並不相同,主因是row運算會破壞行關係

若改為the row space exactly equal to R(Rref),則正確

而N(A)=N(Rref)為正確,因為列運算不會破壞解的空間

(9)IF rank of A, an m*n matrix, is n, then the nullity(i.e. dimension of null space) is 0.

正確:使用維度定理知n=rank(A)+dimN(A)

因此當rank of A, an m*n matrix, is n時

n=n+dimN(A),=> dimN(A)=0得證

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若仍有不懂,歡迎提出

2008-10-12 22:28:11 補充：

To 版大,我原先就是照您後來補充的回答

不正確的舉反例即可

2008-10-15 18:48:15 補充：

(7)考慮

[1 0] [1 1]

[1 0]行可運算=>[1 1]

前者的解為 後者的解為

[0] [t]

[t] [-t]

列運算不會破壞解的空間,這概念主要是來自於符合二關係式之解

其必為線性組合之關係式之解

如2x+3y=0,3x-y=0,則其解(r,s)必定為a(2x+3y)+b(3x-y)=0之解

國中的加減消去法,就是利用此原理消去某未知數

2008-10-15 19:04:17 補充：

因A為m*n矩陣,N(A)的向量為n個變數所構成

若 rank of A為 n,則列運算後只會剩n個線性獨立的rows(而其它列均為0)

此n個rows剛好構成一可逆的n*n方陣A',因列運算不破壞解,故N(A)=N(A')

若Ax=0<=>A'x=0,因A'為可逆,=>[A']^-1*A'x=[A']^-1*0=>x=0

因此N(A)={0向量},因此dimN(A)=0