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Anonymous
Anonymous asked in 科學數學 · 1 decade ago

代數考古題一題

Let G be a group and H, K two subgroups of G.

Suppose that | G | = 225, | H | = 75, and

| K | = 45. Show that H n K is a normal subgroup of K.

3 Answers

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  • 1 decade ago
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    這題還是很簡單,只要觀察到一個事實{最後再證明, 有點小技巧,有些書可能有,我沒去查}

    事實:令 G 為任意固定的群。如果 p 為 |G| 的最小質因子,則任何 index 為 p 的子群必為 normal。

    ===

    由於 [G:H] = 3為 |G| 最小質因子,由事實,可知 H 為 normal,即它的 normalizer N(H) = G。

    因此,H, K ≤ G = N(H) 滿足 2nd Isomorphism 定理,即得 H ∩ K 為 K 的 normal subgroup。{在此 ≤ 表為 subgroup 常用簡寫}。

    ===

    【事實之證明】這是一般的命題,不是針對這一題的。

    令 H ≤ G, [G:H] = p 為 |G| 的最小質因子。

    考慮 H 的 normalizer N(H), H ≤ N(H) ≤ G。由於 p = [G:H] 為質數,從 Lagrange 定理,H 與 G 之間再無其他 G 之子群, 即 N(H) = H 或 G。

    如果 N(H) = G, 則 H 為 normal, 證畢。

    另一邊則會有矛盾。如果 N(H) = H, 那麼所有 conjugates of H 的數目為

    p =[G:N(H)] = [G: H], 設為H_1, …, H_p 好了。

    這定義了一個 homomorphism g: G → S_p {即給定 x, x(H_i)x^{-1} = H_j 所定義的排列}。我們有:

    Ker(g) = ∩H_i, ≤ H, 且 [H:Ker(g)] > 1 {因為 H 不為 normal}

    Im(g) ≤ S_p,, 且

    | Im(g) | = [G:Ker(g)] = [G:H] [H:Ker(g)] = p [H:Ker(g)] 此可以整除 |S_p| = p!,

    即 1< [H: Ker(g)] 可以整除 (p-1)!

    即存在質數 q 可以整除 (p-1)! {即 q < p}又同時整除 | G |。

    由於 | G | 的最小質因子為 p,故得矛盾。

    2008-08-24 08:33:51 補充:

    有些書可能 2nd 及 3rd Isomorphism Theorems 互換叫,且版本也有少許差。我是用 wiki 的

    http://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_theorem

    但不管用那一個版本,證明了 H 為 normal 就行。

    那個事實在代數上是街知巷聞的,在課上可教可不教,書中也難說找得到否,真的了解 H 的 conjugates,且 G 的元素作為 action on H, 就等於有一個 permutation of {H_1, ..., H_p},那想到這命題就不難。既然出得這種題目,那就假設你知道吧...即便不知道,也證給你了啦。

    Source(s): 重溫基本代數啊
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  • Anonymous
    1 decade ago

    是習題~ 也是考古題~

    你去年考上嗎???

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  • 蜉蝣
    Lv 6
    1 decade ago

    呵呵,這題我以前會

    考上研究所就忘得一乾二淨了

    說不定是用同樣的原文書

    是習題吧!

    2008-08-22 04:09:04 補充:

    畢業...多年了,如果書找得出來的話

    我就po,(習題都寫在課本上),但不負責解說,雖然那曾是我的最愛(都靠它撐的分數)

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