微積分最大矩形內切三角形的問題~英文版~請幫幫忙Orz..

Question

Find the area of the largest rectangle that can be inscribed in a right

triangle with legs of lengths 3 cm and 4 cm if two sides of the

rectangle lie along the legs.

中文翻譯:

找出一個最大的矩形面積~是內切一個直角三角形的~~它的兩股是三公分及四公分~

最後一句不知道是什麼意思.....

什麼如果矩形的兩邊什麼兩股~

但是應該就是要求最大的矩形面積~請大大回答詳細點~謝謝^^

Answer 1

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1. 題目是:求矩形內接於兩股3, 4cm之直角三角形, 且矩形兩邊在直角兩股上的最大矩形面積=?

2.

設坐標系以直角三角形兩股為x,y軸,直角頂點為O點,

則斜邊之直線方程式為 x/3+y/4=1 (截距式)

矩形之一頂點必在斜邊上,設為(x,y) (x, y>0), 欲求矩形面積xy最大值

(法一:中學)

由算幾不等式=> (x/3+y/4)/2>=√(xy/12)=> 1/2 >=√(xy/12)

平方得: 1/4 >= xy/12 => xy<=3, 故最大內接矩形面積=3

(註: 此時 x/3=y/4=1/2 => x=3/2, y=2, 即矩形邊長為3/2, 2cm)

(法二:微積分)

矩形面積=xy=x*4(1-x/3) (因 x/3+y/4=1=> y=4(1-x/3)

設面積為f(x)=4x-4x^2/ 3 (0<x<3)

f'(x)=4-8x/3

=> x>3/2時 f'(x)<0, f(x)遞減

x<3/2時 f'(x)>0, f(x)遞增

故x=3/2時 f(x)最大=f(3/2)=3 (此時y=2)

Source(s): me