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太空總署 asked in 科學數學 · 1 decade ago

求點到兩平面交線之最短距離?

minimize the distance from the point (0,0,0) to the line which the intersection of the two planes: x+2y+3z=6 and x+3y+9z=9

5 Answers

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  • 1 decade ago
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    問: minimize the distance from the point ( 0 , 0 , 0 ) to the line

    which the intersection of the two planes: x + 2y + 3z = 6 and

    x + 3y + 9z = 9

    求點 ( 0 , 0 , 0 ) 到兩平面 x + 2y + 3z = 6 and x + 3y + 9z = 9

    交線之最短距離

    解:

    x + 2y + 3z = 6 → 方向向量 N1 = ( 1 , 2 , 3 )

    x + 3y + 9z = 9 → 方向向量 N2 = ( 1 , 3 , 9 )

    方向向量 N = N1 x N2 = ( 9 , - 6 , 1 )

    令 z = 0

    x + 2y + 3z = 6 → x + 2y = 6 ....... ( 1 )

    x + 3y + 9z = 9 → x + 3y = 9 ....... ( 2 )

    得 x = 0, y = 3

    點為 ( 0 , 3 , 0 )

    直線 L 經過點 ( 0 , 3 , 0 ) 且方向向量為 ( 9 , - 6 , 1 )

    故, x = 0 + 9t, y = 3 - 6t, z = 0 + t

    設 P ( 9t , 3 - 6t , t ), O 為 ( 0 , 0 , 0 )

    PO = √[( 9t - 0 )2 + ( 3 - 6t - 0 )2 + ( t - 0 )2 ]

    = √( 118t2 - 36t - 9 )

    設 f(x) = 118t2 - 36t - 9

    則 f’(x) = 236t - 36

    令 f‘(x) = 0 → t = 9/59

    PO = √( 118t2 - 36t - 9 )

    = √[ 118 * (9/59)2 - 36 * (9/59) - 9 ]

    = √21771/59

    P.S 59 不在根號內

    答: 最短距離為 √21771/59 單位

    2008-06-01 17:39:27 補充:

    常數項的確是 + 9 沒錯, 那是筆算謄到 word 上頭的 typing wrong

    不過小路不曉得 √21771/59 跟 √[(369*59)/(59*59)] = √(369/59) 有何差別?

    請教兩位答案哪裡錯了?

    2008-06-01 22:47:00 補充:

    因為我都習慣在紙上先算, 算好了再檢查一下, 然後到 word 上頭打

    所以才會有這樣的情形

    Nuee 兄可是數學板的分類管理員呢! 凡事都逃不過他的法眼的, 包括步驟, 符號

    很高興認識各位, 希望有機會能跟各位多學習

    ( 其實今天上網時, 發現被兩大高手說答案錯了, 嚇的小路趕緊拿出計算機重新驗算一遍)

    Source(s): 數學小頭腦
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  • 1 decade ago

    二次式求最短矩離,以中學生而言,還是配方法好點,而且本題最佳解也算錯了,√(369/59)才是正確答案!

    亞斯兄:您可真有耐心看完每個人的作答! 佩服!

    2008-06-01 19:15:49 補充:

    Sorry!

    原來只是中間不小心key錯了,

    小弟沒有驗算最後結果,以為您以 -9繼續算下去

    再次鄭重說抱歉!!

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  • YO
    Lv 5
    1 decade ago

    ( 9k , 3 – 6k , k )‧( 9 , -6 , 1 ) = 0

    → 118k = 18

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  • 1 decade ago

    小路:

    您求參數式的方法不好.直接用方程式的方式求比較快.

    x+2y+3z=6(1)

    x+3y+9z=9(2)

    (2)-(1)

    y+6z=3

    y=3-6z

    令z=t

    y=3-6t

    x=6-6+12t-3t=9t

    (x,y,z)=(9t,3-6t,t)

    2008-06-01 18:59:52 補充:

    小路沒有錯啦,他的59是在根號外面,而且他已經有理化分母了,如果要說最正確性,應該是小路才對。

    要不然我在第一個意見的時候就會提出來了。

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  • 1 decade ago

    由 x + 2y + 3z = 6

    x + 3y + 9z = 9

    可求得直線參數式:

    (x , y , z) = (9k , 3 – 6k , k ) ,k屬於R

    所以兩點間的距離為:

    √(x2 + y2 + z2) = √[(9k)2 + (3-6k)2 + k2]

    = √[ 118k2 -36k + 9 ]

    = √[ 118(k – 9/59)2 + 369/59 ]

    因此當 k = 9/59

    √(x2 + y2 + z2) 有最小值 = √(369/59)

    2008-05-30 12:48:51 補充:

    小弟高中時求直線的方向向量 是用小路大大所用的外積去算

    然後求線上一點 A = (x1 , y1 , z1) 方法有很多種

    最後是以向量 AB = (a,b,c) 為法向量

    (B點在此題目為 原點)

    求出通過 A點的平面方程式 E

    a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0

    然後帶 點B = (x2 , y2 , z2) 到 E 的距離公式:

    | [a(x2-x1) + b(y2-y1) + c(z2-z1)] | / √(a^2 + b^2 + c^2)

    此即為最短距離

    2008-05-30 12:48:59 補充:

    計算熟練的話,列一兩個式子答案就出來

    而且計算蠻有ㄧ致性

    小弟不這樣列的原因是怕原 po 大大 對空間幾何圖形想像力不太夠

    怕腦筋轉不過來

    高中數學很多求距離的題目

    大多利用 外積和內積

    搭配投影的概念就能算出來~

    因此小弟覺得用外積求

    計算上會來的較有ㄧ致性

    2008-05-30 13:19:10 補充:

    補充一下,若是沒有記 點到平面距離的公式 也沒關係

    求出參數式 A= (9k , 3-6k , k ) 後

    由參數式可知道它必通過ㄧ點 C( 0 , 3 , 0)

    (想想看為什麼)

    可得到兩向量:

    OC = < 0 , 3 , 0>

    OA = <9k , 3-6k , k >

    OC 投影到 OA 方向的向量長度就是答案了:

    L = |OC‧OA| / |OA|

    = 9(1-2k) / √[(9k)^2 + (3-6k)^2 + k^2]

    把 k = 9/59 算出來帶入就可求得~

    ----------

    算法真的很多,原po 大大您自行決定要使用哪一種吧~

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