Henry asked in 科學數學 · 1 decade ago

數學微分聯立解問題

已知 dU/dx=0,dU/dy=0,d^2U/dx^2>0,d^2U/dy^2>0

為什麼(d^2U/dxdy)^2-(d^2U/dx^2)(d^2U/dy^2)<0

可以推導一下嗎?謝謝

Update:

x,y不等於0

Update 2:

x>0,y>0

Update 3:

> or <0不是重點,

重點是怎麼導出來的,

好像要用泰勒展開式做?

可以導一下嗎?

2 Answers

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  • 1 decade ago
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    沒有這樣的推導結論!例:

    U=x2+y2, 在(0,0)處Ux=0=Uy, Uxx=Uyy=2>0, Uxy=0=>(Uxy)2-Uxx*Uyy<0

    而函數U=x2+3xy+y2,在(0,0)處

    Ux=0=Uy, Uxx=Uyy=2>0, Uxy=3=>(Uxy)2-Uxx*Uyy=9-4>0

    2008-05-28 00:23:27 補充:

    x,y是否為0,沒啥影響!

    例: U=(x-1)^2+(y-2)^2, U=(x-1)^2+3(x-1)(y-2)+(y-2)^2 在點(1, 2)處,

    是否與點(0, 0)處相同呢?

    重點是U(x,y)的等位線(Level curve)在critical point處的表現情形,是sink, source,或saddle!(而且是都有可能!)

    2008-05-28 00:27:05 補充:

    上述兩個例子,一個是source, 另一個是saddle, so, 結果就不一樣了!

    Source(s): me
  • 1 decade ago

    To Henry :

    你的問題很像是 判別式 D = fxx*fyy – (fxy)^2

    在判斷極值性質

    但是這樣子問ㄧ定有問題

    首先你應該是想問 "ㄧ個點",而非"一個區間"

    就算是問ㄧ個點

    又和判別式有所出入OTZ...

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