Anonymous
Anonymous asked in 科學數學 · 1 decade ago

梯度 & 方向導數 & normal vector

梯度的意義

方向導數的意義(以及越大或越小代表什麼)

還有,為什麼一個三個變數在某一點的切平面的Normal Vector是▽F(X,Y,Z)

Update:

煩惱即是菩提 大大:請問一下 方向導數的大小表示什麼啊?

Update 2:

我是感覺這個部分有點抽象 = =|||

1.函數f(x,y,...)在P點處沿u之方向導數 ---> 好抽象阿,這是啥= =+

2. fx,fy,fz 又各是什麼意思,請不要直接給我公式,能夠由圖的概念來講會

比較好 ( 好像問太多了 ? 那就請專業的五樓回答吧XD )

Update 3:

我是想,一直背公式的話,會很容易忘,而且這不符合作學問的原則XDDD

所以希望有大大能夠用圖解的方式跟我講~

我的點數不夠,只能給十點 =  =

※隱藏是因為怕會遇到認識的,我都已經大三了的說。。。

3 Answers

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  • 1 decade ago
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    1.意義

    梯度是單變數函數導函數的推廣

    形式上定義是:

    單變數實數函數f(x):梯度= f'(x)

    多變數實數函數f(x,y,...): 梯度=(fx, fy,...) (偏導函數形成的向量)

    2.方向導數

    實數函數f(x,y,...)在點(a,b,...)處,當點沿著指定方向向量u移動時,函數值相對於移動量的變化率(純量)

    設單位向量u=(u1, u2,...), 點P(a, b,...), 則

    函數f(x,y,...)在P點處沿u之方向導數≡ (定義)

    lims->0 [f(a+su1, b+su2,...)-f(a,b,...)]/s (chain rule)=(fx, fy,...)與u之內積(在P點處取值)

    因此方向導數>0表示沿u方向時,函數值f(x,y,...)越來越大

    (與一階導數>0表f(x)遞增同義)

    3. 梯度即切平面的法向量

    設空間中曲面為f(x,y,z)=k (常數)

    通過曲面上點P(a,b,c)之任一曲線,可以f(x(t), y(t), z(t))=k表示

    (對t求導函數)=> fx*x'(t)+fy*y'(t)+fz*z'(t)=0

    即曲線之切向量(x'(t), y'(t), z'(t))與函數之梯度(fx, fy, fz)內積=0

    =>梯度與任意曲線(切向量)均垂直

    =>梯度為曲面之法向量

    註:想像大大的手背(曲面)上一個點P, 通過P點且在手背上任意畫一曲線均與某向量垂直,則此向量必定與曲面垂直(即法向量)

    這部份本來就稍難,多用點心囉!

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    Source(s): me
  • Anonymous
    6 years ago

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  • 1 decade ago

    這些在工數的向量部份都有講 ,你可以去翻翻 ,

    若再不會我有時間再說明...

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