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Lv 4
? asked in 科學數學 · 1 decade ago

最大面積問題的難題.

有長為L公尺的繩子,

若分別圍成正三角形,三角形,正方形,長方形,

正n邊形,n邊形,圓形,橢圓形,扇形面積各為多少?

何者面積最大,為什麼?

2 Answers

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  • 1 decade ago
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    【正n邊形】:

    每邊長為 L/n (n 大於2)

    且可看成被分割 n塊相等面積的等腰三角形

    每個等腰三角形頂角為 2π/n

    可知道其三角形的高(相對於底邊 L/n 而言)

    為 L/2n*cot(π/n)

    所以每塊三角形的面積為:

    1/2*h*L/n = L^2*cot(π/n) / (4n^2)

    所以 正n邊形 的面積為:

    L^2*cot(π/n) / (4n^2) * n = L^2*cot(π/n) / (4n)

    (正方形那些都是為正n邊形的其中一種 case,所以不討論)

    【圓形】:

    當 正n邊形 的n 趨近於無窮大

    則會形成圓

    且其面積等於:

    lim [ L^2*cot(π/n) / (4n) ] = L^2 / (4π)

    n→∞

    可利用 lim (tanx / x) = 1 去求 cot(π/n) / n 的極限值

    ____ x→ 0

    【橢圓形】:

    橢圓周長沒有一般性公式解

    所以即使已知長短軸 a、b

    但是沒辦法用 L來表示 a、b

    也就是沒辦法用 L 來表示其面積

    (可是能用 a、b 來表示其面積,面積 = πab/4 )

    【三角形、長方形、n邊形、扇形】:

    請大大把要假設的變量...等等寫清楚

    只說要求面積

    可是變因太多

    例如 扇形 的半徑假設為多少?

    n邊形 的n個邊是多少?每個內角分別是多少?

    小弟不認為我討論出所有可能

    大大 您會ㄧ字ㄧ句看完

    而且看懂

    所以這部份留給大大自己討論~

    -------------------------------

    小弟只比較 圓形 和 正n邊形:

    正 n邊形面積 = L^2*cot(π/n) / (4n)

    圓形面積 = L^2 / (4π)

    比較一下

    其實就是在比較

    cot(π/n) / n 和 1 / π 何者較大

    大大只要證明出 cot(π/n) / n 為遞增函數(變數是n )

    且其上界為 1 / π

    那就可以保證 1 / π 大於 cot(π/n) / n ,對所有的 n 大於2來說

    遞增函數的特性是微分後會大於等於 0

    (留給大大去微分)

    因此 圓形 面積比 正n邊形 面積大~

  • ㄚ彬
    Lv 7
    1 decade ago

    圓形面積最大

    正方形面積

    (L/4)(L/4)

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