數學[高微]請教這個數學問題完整解答跟意思還有說明

Claculate the Jacobian matrix for each of the following functions.

Give a geometric interpretation of the linear approximation

in each case as tangent line,tangent plane,and so on.

A) f:R->R^3 given by f(t)=(2t,(1+t^2)^0.5,e^t).

B) f:R^2->R given by f(x,y)=2xsin(x+y^2).

C) f:R^2->R^3 given by f(x,y)=(x+y^2,cos(x+y),x^2/y).

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    Lv 7
    1 decade ago
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    B) Df(x,y) = (2sin(x+y^2) + 2xcos(x+y^2) , 4xycos(x+y^2)

    f 在點 (x,y,f(x,y)) 附近的線性逼近是 z = f(x,y) + (Df(x,y))(u,v), 這意思就是 f(x+u,y+v)≒ z = f(x,y) + (Df(x,y))(u,v) 當 u,v 很小時.

    而這線性逼近恰好是 f 過點 (x,y,f(x,y)) 的切平面.

    C) Df(x,y) =

    (1 2y)

    (-sin(x+y) -sin(x+y))

    (2x/y -(x/y)^2)

    f 在點 (x,y,f(x,y)) 附近的線性逼近是 z = f(x,y) + (Df(x,y))(u,v), 這意思就是 f(x+u,y+v)≒ z = f(x,y) + (Df(x,y))(u,v) 當 u,v 很小時.

    而這線性逼近恰好是 f 過點 (x,y,f(x,y)) 的切平面.

    C) 和 B) 最大的不同是 C) 中的切平面是以 u,v 為參數來描述此切平面的點座標, 而 B) 中的切平面則是我們常見 |R^3 中的平面方程式. 造成這種不同的最大原因是 C) 中定義域和對應域的維度加起來是 5 維而使得我們無法把自變數和因變數一起考慮畫出來 (我們頂多畫出三維圖). 而且注意到雖然兩者都稱作是切平面, 但是它們所處的空間在意義上是完全不同的.

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