linear algebra-vector space問題2

Show that the two sets S1 and S2 below span the same subspace of R^3

S1={[2 -1 1]^t ,[1 2 -3]^t} S2={[3 1 -2 }^t ,[-1 3 -4]^t}

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  • Anonymous
    1 decade ago
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    前一位人兄所提的是個好方法: 他用了三維空間特有的叉積(外積, 向量積), 證明時有幾何的直觀. 但如果題目所給的向量有4個座標, 這種運用叉積的方法就行不通了. 以下是一種對任意有限維空間都適用的方法:

    要證明 span(A) = span(B), 只要證明A中的元素都在span(B)中, 而B中的元素都在span(A)中. (這是定理)

    也就是說, 如果方程

    [2 -1 1] = a [3 1 -2] + b [-1 3 -4],

    [1 2 -3] = c [3 1 -2] + d [-1 3 -4]

    以及

    [3 1 -2] = e [2 -1 1] + f [1 2 -3],

    [-1 3 -4] =g [2 -1 1] + h [1 2 -3]

    都有解 (未必唯一), 則命題得證.

    然而我們可解得

    a=1/2, b=-1/2; c=1/2, d=1/2; e=1, f=1; g=-1, h=1,

    故命題成立.

  • L
    Lv 7
    1 decade ago

    顯然 sp(S_1) 和 sp(S_2) 都是 |R^3 中過原點的平面, 只要說明兩者的法向量一樣就行了. sp(S_1) 的法向量 = ([2 -1 1] X [1 2 -3])^t = (1,7,5)^t. sp(S_2) 的法向量 = ([3 1 -2] X [-1 3 -4])^t = (1,10,10)^t. 這兩個平面不會一樣, 題目有誤吧.

    2008-03-23 03:53:16 補充:

    抱歉我計算錯誤, sp(S_2) 的法向量 = ([3 1 -2] X [-1 3 -4])^t = (2,14,10)^t 是 (1,7,5)^t 的兩倍, 法向量同向又都過原點故兩平面一樣.

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