terry wang asked in 科學數學 · 1 decade ago

minimal polynomial 的求法

任給一實數矩陣,如何求它的minimal polynomial?可以的話請舉例說明。謝謝。

Update:

minimal polynomial(最小多項式的定義):

A為一實數矩陣,若 存在x的多項式p(x)滿足

(1) p(A) = 0

(2) 若有另一多項式q(x)使q(A) = 0,則 deg q(x) 小於等於 deg p(x)。

則稱p(x)為矩陣A的minimal polynomial(最小多項式)

亦即 p(A) = 0,且次數最低。

Update 2:

Cayley-Hamilton 定理:

若 p(x)為矩陣A的特徵多項式(p(x) = det(A–xI)),

則p(A) = 0。

Update 3:

1. 矩陣A的minimal polynomial有唯一性嗎?

有沒有可能有兩個相異的多項式,次數相同,且將A代入可得0?

2. 假如矩陣A的minimal polynomial有唯一性,

由Cayley-Hamilton定理可知,

矩陣A的minimal polynomial必為其特徵多項式的因式。

因式少時可用試的,太多時如何做?

Update 4:

To Bon:

能不能麻煩您舉個例子。謝謝。

1 Answer

Rating
  • Best Answer

    您mini. poly. 的定義應該還要加一個條件P(x)為monic poly. ie. P(x)的最高項係數為1

    1. 是!mini. poly 具有唯一性!

    2.

    可以畫出每個eigenvalues 的dot diagram ,每個dot diagram的第一列的點數就是mini. poly. 的eigenvalue 的代數重數

    2008-03-30 15:19:36 補充:

    ex

    若 A:10×10

    令 A 的特徵多項式為(x+1)^5 * (x-4)^3 * x^2 , 所以a=-1 , b=4 , c=0

    這里 a , b , c 是特徵值,且假設

    a=-1 的點圖為:第一行為3點,第二行為2點

    b=4 的點圖為:第一行為2點,第二行為1點

    c=0 的點圖為:第一行為1點,第二行為1點

    所以A 的極小多項式為:(x+1)^3 * (x-4)^1 *x

    這樣不曉得你懂了嗎?

    (知識+不好編輯,你試著把我的假設畫出來,理解看看,再多做題目就容易懂了)

    2008-03-30 15:20:32 補充:

    打錯了,把假設的"行"改成"列"

    2008-03-30 15:23:41 補充:

    我笨了,一直打錯!

    A的極小多項式改為:(x+1)^3 * (x-4)^2 *x

    2008-04-01 14:18:57 補充:

    參考:

    http://www.sciencesoft.at/latex/latex.bmp?index=21...

    點圖:

    http://www.badongo.com/t/640/3264532.jpg

    Source(s): , 以上假設你會畫點圖
Still have questions? Get your answers by asking now.