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Anonymous
Anonymous asked in 科學數學 · 1 decade ago

The comparison tests假設條件如何證明

標題能講的字太少了所以只好硬是縮成這樣

基本上所謂的The comparisons tests就是判斷級數發散與收斂的方法

但有個疑問

書上預設兩條件,證明也從這兩條件思考來證

此兩條件為:

Suppose that Σan and Σbn are series with positive terms.

(1)If Σbn is convergent and an<=bn for all n then Σan is also convergent.

(2)If Σbn is divergent and an>=bn for all n, then Σan is also divergent.

證明中設Sn=Σ(i=1~n)ai, tn=Σ(i=1~n)bi, t=Σ(i=1~∞)bn

tn→t所以tn<=t當然合理

但若我讓條件(1)中an>=bn來證明合不合理那我是不是應該設Sn→S呢?還是要照舊原設的Sn, tn, t來證?

若條件(2)變成an<=bn來證合不合理又該如何證呢?

書的寫法有一個毛病,完全沒有把條件的另一種可能去推導證明不對,而是以Test內容以果導因,這是很奇怪的~但又不知道該不該再設S=Σ(i=1~∞)ai,可是Σan才是真正要求為收斂還是發散的主角,Σbn只是純粹是已經知道為收斂或發散來跟Σan做比較的而已,若再設S不是很奇怪,但我又不會證反例,希望知道的人能幫忙完成這部分的證明~

Update:

要是證明就直接從bn是收斂跟發散已知來考慮,然後再假設an與bn的關係證明哪兩個不合又哪兩個合,這樣我會比較好懂,也比較符合我要的,Test並不是一開始就定義好的東西,假若無法由所有狀況證實,感覺上這個Test只有硬記沒有任何意義,不知道是作者太懶還是心機都故意忽略

Update 2:

an為正整數序列,bn為調和級數,an>bn,an為發散,bn為收斂。

序列能跟級數做比較嗎?

比較法應該要同樣為級數才可比較

為何要這樣舉例?有用意嗎?

Update 3:

an為正整數序列,bn為調和級數,an>bn,an為發散,bn為收斂

但是調和級數應該是發散的

真是這樣那就等於是第二個an>=bn的確切舉例了

冪級數需要看什麼樣的條件

調和級數不算真的收斂啊~

這樣的比較是否有疏失?

1 Answer

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  • 1 decade ago
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    根據你的問題,條件(1)An>=Bn和條件(2)An<=Bn,無法證明其An是否收歛或發散,因條件不足而無從得知。

    The comparisons tests,是讓人利用bn判斷出,確定an是否為收斂還是發散。

    Suppose that Σan and Σbn are series with positive terms.

    (1)If Σbn is convergent and an<=bn for all n then Σan is also convergent.

    若bn是收斂,且an<=bn,則an為"必為"收斂。

    如果an>bn,則有兩種情況:(1)an為收斂(2)an為發散

    舉例:

    an為調合級數,bn為冪級數,an>bn,兩個皆為收斂。

    an為正整數序列,bn為調和級數,an>bn,an為發散,bn為收斂。

    (2)If Σbn is divergent and an>=bn for all n, then Σan is also divergent.

    若bn是發散,且an>=bn,則an為"必為"發散。

    如果an<bn,則有兩種情況:(1)an為收斂(2)an為發散

    同上(1)反過來可得證。

    此定理就是利用bn來判斷an,由(1)(2)改變條件之後根本無法判斷,所以不能當作test來做判斷。不是不寫出來或太懶,而是"根本沒意義",所以沒做討論。

    根據邏輯觀念:

    若 p 則 q ←→ 若 ~q 則 ~p

    兩式恆等價,看清楚右邊的否定命題是先 " ~q " ,才則 " ~p "。

    反過來說:

    若 p 則 q ←?→ 若 ~p 則 ~q

    此恆等是為等號,不一定成立。

    舉例來說:

    一個空曠的廣場,下雨之後地板會濕。合理

    但是地板溼,不一定是因為下雨,可能有人潑水。

    反過來說,地板是乾的,那今天沒下雨,單然也沒人潑水。合理

    ====================================================================

    希望你能弄懂一些邏輯觀念和定義,某些定義是在"特定條件"之下成立,反之因條件不合所以"不一定"會成立。

    2008-02-14 21:38:10 補充:

    級數,是序列的相加。

    一序列{a1, a2, a3, a4, ......., an}

    其級數為Sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an

    an或bn只是表達序列或是級數"第n項"的值,並不代表整個級數和。

    我的表達沒很清楚可能讓你誤認為bn為一級數,不是這個意思。

    如果要寫嚴謹點因該說,

    A為自然數相加,An = n,n = 1, 2, 3....

    B為調和級數,Bn = 1 / n ,n = 1, 2, 3....

    2008-02-26 23:01:48 補充:

    (I)

    An = { 1/2^n | n = 0, 1, 2, 3…}

    Bn = { 1/3^n | n = 0, 1, 2, 3…}

    ΣAn = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1/( 1- 1/2 ) = 2

    ΣBn = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 1/( 1 - 1/3 ) = 3/2

    An>Bn,且ΣAn為收斂級數。

    (II)

    An = { 1/n | n = 1, 2, 3…}

    Bn = { 1/3^n | n = 0, 1, 2, 3…}

    An>Bn,且ΣAn為調合級數,固為發散。

    2008-02-26 23:02:33 補充:

    (III)

    An = { 1/3^n | n = 0, 1, 2, 3…}

    Bn = { 1/n | n = 1, 2, 3…}

    Bn>An,且Bn為發散,An為收斂。

    (IIII)

    An = { 1/n | n = 1, 2, 3…}

    Bn = { 2/n | n = 1, 2, 3…}

    Bn>An,且Bn為發散,An為發散。

    Source(s): 自己, 讓你誤解真抱歉, 抱歉沒注意確定它的收斂與發散,感謝您的糾正, 抱歉沒注意確定它的收斂與發散,感謝您的糾正
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