? asked in 科學數學 · 1 decade ago

微積分函數極值問題

請問 像這種題型因如何判別 它的局部最大和最小以其反曲點

1. f(x) = x^5/4 - x^1/4

2. f(x) = | x^2 - 9 |

第一題 一次微分後 它的 critical number 為 0 及 1/5

請問當 x < 0 時 是如何判別??

Update:

在1階微分後所找到的 critical number 為何沒有 0 ??

當 x = 0 ; f'(x) = -∞ = 不存在

這不應該也屬於一個 critical point 嗎 ??

2 Answers

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  • 1 decade ago
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    第一題,首先注意到 domain of f ={x|x 大於,等於0}.所以 x = 0 為 critical point. (詳解如下):

    圖片參考:http://img225.imageshack.us/img225/5380/24981831gl...

    圖片參考:http://img215.imageshack.us/img215/6944/94086845dv...

    2008-02-12 11:10:33 補充:

    我建議你處裡這類問題時,請先寫出domain. 第一位回答者未注意到第一題 ,0 也是critical point. 臨界點可能不是極值點這點是對的!

    如果你還有任何疑問歡迎提出來!!

    Source(s): myself
  • 1 decade ago

    (1) f(x) = x5/4 - x1/4 :

    ----> f'(x) = (5/4)x1/4 - (1/4)x-3/4 = (1/4)x-3/4 * (5x - 1)

    ----> f''(x) = (5/16)x-3/4 + (3/16)x-7/4 = (1/16)x-7/4 * (5x + 3)

    所以當 f'(x) = 0 -----> x = 1/5 (沒有 0 喔~) 且 f'(1/5) > 0

    也就是說 x = 1/5 時是極小值。

    又因為 f''(x) = 0 ----> x = -3/5 < 0 ----> 不符合定義 (負數沒有分數型的次方)

    所以沒有反曲點。

    (2) f(x) = | x2 -9 | :

    先畫出 g(x) = x2 -9 的圖形,是一個拋物線,其頂點為 ( 0 , -9 ) 並且在 x = -3 ~ 3 之間是負的,其餘是正的。

    所以 f(x) 只是把 g(x) 負的地方變正的,也就是把 x = -3 ~ 3 的圖向上翻,所以容易看得出來

    在 x = -3 與 3 的地方是局部極小值,x = 0 的地方是局部極大值。

    由凹性來看也清楚發現 ( -3 , 0 ) 與 ( 3 , 0 ) 是反曲點。

    2008-02-10 04:03:49 補充:

    要記住一些基本觀念 ~

    [1] 局部最小值、局部最大值:

    表示該點附近此處最小,並不見得一定存在一次微分,就像你的第 (2) 題一樣,看的出來,在 x = -3 與 x = 3 的地方一定是不存在 f'(-3) 與 f(3) 。

    但是如果 x = a 的地方存在 f'(a),則一定會 f'(a) = 0 , 且 f''(a) > 0 (局部最小值) 或 f''(a) < 0 (局部最大值) 。

    [2] 反曲點:

    同理,也是表示該點附近 "凹性" 不同而已,也並不見得一定存在二次微分。

    但是如果 x = a 的地方存在 f''(a),則一定會 f''(a) = 0 。

    2008-02-10 04:07:01 補充:

    解題技巧:

    如果可以先利用畫圖一看就知道,請畫圖用看的就可以了。

    不行再利用微分方式來作。

    如果話不出圖或是不會微分的話,那表示該題有 "一定" 的難度,只能禱告是否能想到一點關鍵的地方來下手囉 ~

    2008-02-12 00:12:29 補充:

    critical number (臨界點):

    若 x 為 D(f) 的內點,若 " f'(x) 不存在 " 或 " f'(x) = 0 " ,則稱 ( x , f(x) ) 為 y = f(x) 的臨界點。

    所以你的問題就是: x = 0 根本不是 y = f(x) 的內點! ---> x = 0 不是臨界點。

    2008-02-12 00:14:50 補充:

    而且要注意一下的是:

    " 局部極值的點 "一定是 " 臨界點 ",但 " 臨界點 " 並不一定是 " 局部極值 " 。

    2008-02-17 02:09:08 補充:

    請問 Bernard Russell 大大:

    x = 0 是邊界點,它可以是 " 臨界點 " 點嗎?我查了許多版本的書,好像不可以吧~

    請指教!

    Source(s): 自己, 自己, 自己, 自己, 自己
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