? asked in 科學及數學數學 · 1 decade ago

香港培正中學數學

我要計算步驟和解釋

設x 為正整數。若2002 和x 的最小公倍數為30030,問x 有多少個不同的可能值?

陳先生有兩名兒子,他們的年齡相差一歲。在1997 年,陳先生的年齡是兩名兒子年齡

之和的八倍。在2002 年,陳先生的年齡是兩名兒子年齡之和的三倍。當陳先生的長子

出生時,陳先生的年齡是多少?

對於正整數n,若 n2 - 2 為7 的倍數,則n 稱為「好數」。在首2002 個正整數中,有

多少個是「好數」?

求最小的質數p,使得 2002 - p 和 2002 + p 均為質數。

如圖所示,ABCD 為長方形,E、F、G、H 分別

為AB、BC、CD、DA 上的點,且 EG = 3 ,

FH = 4 。求長方形周界的最大可能值。

2 Answers

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    1 decade ago
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    1. 2002=2x7x11x13

    30030=2x3x5x7x11x13

    若x和2002 的最小公倍數是30030,則x必的質因數分解必須包括剛好一個3 和一個5,另外2、7、11、13這幾個質數可以有一個或沒有,所以共有2^4=16個可能值,例舉如下:

    15, 2x15, 7x15, 11x15, 13x15, 2x7x15, 2x11x15, 2x13x15, 7x11x15, 7x13x15, 11x13x15, 2x7x11x15, 2x7x13x15, 2x11x13x15, 7x11x13x15, 2x7x11x13x15

    2. 設長子在1997年的年齡是n,則在1997年,陳先生的年齡是8(n+(n-1))=16n-8。

    在2002年,陳先生的是3((n+5)+(n+4))=6n+27。

    所以

    6n+27=16n-8+5=16n-3

    n=3,

    在1997年,長子是3歲,而陳先生是40歲,長子在1994年出先,當時陳先生是37歲。

    將7k, 7k+1, ...,7k+6代入n^2-2中,會發現只有當n=7k+3或7k+4時,n^2-2是7的倍數。

    2002=7x286,每7個連續數中有兩個好數,所以首2002個整數中,共有286x2=572個好數。

    直接計算後知p=2和p=3不能。除2和3外,所有的質數都是6n+1或6n-1的形式,但2002=6x333+4,

    若p=6n-1,則 2002+p=6(333+n)+3,是3的倍數,而且大於2002,因此不可能是質數。

    若p=6n+1,則2002-p=6(333-n)+3,是3的倍數,要這個數是質數,就必須是3,因此

    p=2002-3=1999是唯一的可能,直接驗證:

    p=1999是質數

    2002-p=3是質數

    2002+p=4001是質數,因此答案是1999

    注意BC<=EG, AB<=FH,因此周界最大可能值是2(3+4)=14

  • Anonymous
    1 decade ago

    設x 為正整數。若2002 和x 的最小公倍數為30030,問x 有多少個不同的可能值?

    x 有 3 種可能值.

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    the rest questions I do tomorrow.

    Source(s): orange
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