? asked in 教育與參考考試 · 1 decade ago

微分導數計算簡單20點

(1). y=x√(4-x) (2). y=(5-3x)/(x-2)

這兩題的反曲點和漸近線最大最小值???為多少

已經算破頭了還有函數的定義域

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  • 1 decade ago
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    雖然稍為有點煩瑣 (也還好吧?)

    但, "算破頭"? 太誇張了吧?!

    只不過是基本的、典型的練習題!

    (1) y=x(4-x)^{1/2}

    定義域: 4-x>=0, 即 x=<4.

    y' = (4-x)^{1/2} - (1/2)x(4-x)^{-1/2} = (4-3x/2)(4-x)^{-1/2}

    臨界點: 4-3x/2=0, 即 x=8/3.

    y" = (-3/2)(4-x)^{-1/2}+1/2(4-3x/2)(4-x)^{-3/2}

     = [(-3/2)(4-x)+(1/2)(4-3x/2)](4-x)^{-3/2}

     = (-4+3x/4)(4-x)^{-3/2}

    因 x=<4, 得 -4+3x/4<0, 故 y"<0.

    因此可知:

    a) 無反曲點, 曲線 concave downward.

    b) 在 x=8/3 時 y 得相對極大, 也是絕對最大值,

     (8/3)(4/3)^{1/2}= 32/(3√3).

    c) 無相對極小; 因無下界, 也無絕對最小.

    再者, 本函數既無垂直、水平漸近線, 也無傾斜漸近線.

    (2) y = (5-3x)/(x-2)

    改寫一下就很簡單了! y=-3-1/(x-2)

    定義域 x≠2.

    y' = 1/(x-2)^2 >0 for all x≠2.

    y" = -2/(x-2)^3 >0 when x<2; <0 when x>2

    因此, 曲線在 x<2 是 increasing and concave upward;

    在 x>2 也是 increasing 但 concave downward.

    沒有相對極值, 也沒有反曲點.

    x→2- 時 y→∞; x→2+ 時 y→-∞. 故 x=2 是垂直漸近線.

    x→±∞ 時, y→ -3. 故 y=-3 是水平漸近線.

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