BD asked in 科學化學 · 1 decade ago

什麼是「水丁格方程式」?

請問一下「水丁格方程式」的背景(為什麼會出現)還有簡單的介紹這個方程式,謝謝。

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  • 1 decade ago
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    水丁格方程式的科普化說明

    古典物理把物質的行為區分為兩種類型,分別以粒子模型與波動模型來描述。在粒子模型中,物質集中在很小的區域內,成為一個粒子。一個物理系統可由許多粒子組成。規範粒子運動的是牛頓第二運動定律。粒子有明確的運動軌跡,描述粒子運動狀態的兩個重要物理量是動量

    圖片參考:http://163.22.4.62/article/200006%20/images/sdEqua...

    。物體大如行星的運行,小至電子在陰極射線管中的運動,都可以用粒子模型來解釋。

      在波動模型中,波在空間有相當範圍的分佈,包含許多波峰與波谷。規範波運動的方程式是:

    稱之為波動方程式。其中

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    。水波、聲波或光波的干涉、繞射現象都可由波動模型得到完美的解釋。

    不論是粒子模型或波動模型,在古典的觀念中,一個物理系統的能量是可以連續變化的。在一百年前,蒲朗克(Planck)研究物體熱輻射的光譜能量分佈時,為了要正確解釋實驗結果,他做了一個革命性的假設。熱輻射是物體內原子因熱振盪,而放射出的電磁波。物體一方面輻射電磁波,但也同時吸收電磁波。原子做頻率為

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    焦耳•秒,叫蒲朗克常數)。即原子振盪時,其能量變化是不連續的。

    除了熱輻射外,原子或分子也會吸收(或輻射)某些特定頻率的電磁波,而改變原子的能量。在探討原子光譜的吸收或輻射時,愛因斯坦認為每次電磁輻射的能量,應該是集中在一很小的空間,而不是均勻分布在整個波動的範圍內。也就是說,在原子光譜吸收與輻射時,光是以粒子的形態表現出來。光的粒子形態後來被稱為光子(photon)。每個光子的能量

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    的關係為:

    在粒子模型中,光是由許多能量為

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    的粒子組成。1906年米立坎(Millikan) 開始一系列的光電現象實驗(光照射在金屬上,把電子打出來),幾年後證實光電現象只能以粒子模型來解釋,無法以波動模型來說明。

      光的干涉、繞射現象必須用波動模型來解釋,而光電現象(以及後來發現的康普頓效應),必須用粒子模型來解釋。在不同的實驗觀察,光的行為,有時是波,有時是粒子,這稱為波─粒子的二象性。

      光的現象在十九世紀一直被認為是波動,但是到了二十世紀初卻發現,在某些情況會表現出粒子的特徵。傳統認知的粒子,是否也會表現出波的行為呢?1924年得布羅依(de Broglie)在他的博士論文中,提出了一個全新的觀念。他認為所有的物質都帶有一種波,稱為物質波。一個能量為

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    。這也是古典物理沒有的性質,稱之為測不準原理。

    得布羅依的物質波到底是什麼量在波動?物質波遵守什麼運動定律?水丁格(Schrdinger)經由推測,寫下了物質波的波動方程式:

    這個公式叫含時間的(time-dependent) 水丁格方程式,是一個質量為

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    應遵守的方程式。

      在位能

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    應遵守的方程式為:

    這是穩定態的(steady-state)水丁格方程式。

    http://emag.ncnu.edu.tw/show.asp?dataID={B2A49C37-...

    2007-03-29 11:11:24 補充:

    對於一個位能函數,解水丁格方程式可以得到其波函數,由於必須滿足某些條件:如及須為連續,須為單一值,不能為無限大等。這些要求常使得只有一些特定的值,才有解。例如質量為的粒子做角頻率為的簡諧振盪時,其位能為。此位能只有當粒子能量為時,水丁格方程式才有解,這裡是正整數,稱為量子數。這結果正是蒲朗克所假設的,簡諧振盪每次改變的能量是。又如氫原子,為庫倫位能(此時要用三維的水丁格方程式),計算得知,只有當電子伏特時,水丁格方程式才有解。這些穩定態的能量也與實驗結果吻合。

    2007-03-29 11:12:06 補充:

    水丁格起初並不瞭解物質波到底是什麼量在波動。波函數的物理意義是由波恩(Born)所提出。波函數(絕對值)的平方代表粒子在某處被發現的機率。由於波函數在空間有相當範圍的分佈,我們觀測時,粒子可能在此範圍內的任何位置被發現。粒子在位置附近出現的機率與成正比。這與古典物理中,粒子有明確位置的觀念完全不同。

    2007-03-29 11:12:35 補充:

    一個粒子在位能中運動,我們可以從水丁格方程式,求得粒子的能量,以及在此能量時的波函數。此質點的所有性質可以從求得。因此水丁格方程式在量子物理的重要性,如同牛頓運動定律在古典物理一般。但水丁格方程式所導出的結果,在古典物理中為何看不到呢?原因在於蒲朗克常數的數值非常非常的小。在日常生活的尺度中,能量的不連續量太微小了,而無法察覺其不連續性。一般物體的物質波波長,也極短而無法察覺其波動。測不準原理也不影響一般的測量,因為儀器的精確度遠差於測不準原理的要求。

    2007-03-29 11:13:24 補充:

    我們以一個簡單的例子來說明。假設有一個質量為 公斤的灰塵,被限制在一寬度為 10 公分的盒內運動。由水丁格方程式可以算出此灰塵的能量。此灰塵的能量是不連續的。因此,其速率的變化也是不連續,每次的增加(或減少)量為每秒公尺。這個量實在太小了(一個原子的尺寸約為公尺),我們無法測出這麼小的變化。因此,我們認為此灰塵的速率是連續變化的。假設此灰塵的速率為每秒 公尺,則其物質波之波長為公尺。此波長太短了,我們根本無法觀測到波動現象。又假設我們測量此灰塵速率的不準度是0.01%,則由測不準原理,我們測量此灰塵位置的不準度約為公尺。這麼準確的測量,是任何精密儀器無法達到的。

    2007-03-29 11:14:40 補充:

    對於一個微小的灰塵,我們無法觀測到波動現象。更大的物體,其物質波波長更短,更是無法觀測到波動現象。因此,在日常生活的尺度中,水丁格方程式並無用武之地。但是,對於組成原子的電子,其質量只有公斤。如果把電子由靜止開始,經過100伏特電壓的加速,其速率為每秒公尺,其物質波之波長為公尺。這個波長與晶體內原子間的距離相當,是可以觀測到的。把經過100伏特電壓加速的電子束,射向金屬薄膜,可以產生如同X光繞射相同的現象。因此,在原子的尺度中,波動現象以及能量的不連續性非常重要,物理現象就靠水丁格方程式來決定了。

    作者:

    陳信雄

    清華大學物理系

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